Dado um triângulo equilátero ABC de área "S".De um ponto interior de seu triângulo mediano, traça-se perpendiculares aos lados do triângulo equilátero,essas perpendiculares formam um progressão aritmética de razão "r", logo podemos afirmar:
a) [tex3]r<\frac{s\sqrt{3}}{6}[/tex3]
b) [tex3]r <\frac{\sqrt[4]{3s^{2}}}{6}[/tex3]
c) [tex3]r <\frac{\sqrt[4]{3S^{2}}}{4}[/tex3]
d) [tex3]r>\frac{\sqrt[4]{3S^{2}}}{6}[/tex3]
e) [tex3]r>\frac{S\sqrt{3}}{6}[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Triângulo Equilátero Tópico resolvido
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Jul 2020
08
09:50
Re: Triângulo Equilátero
Flavio2020,
Sabemos que a área de um triângulo equilátero em função do lado [tex3]\ell[/tex3] é [tex3]S=\frac{\ell^2\sqrt3}4[/tex3] e que a altura em função do lado é [tex3]h=\frac{\ell\sqrt3}2[/tex3]
Assim, é fácil achar que [tex3]h=\sqrt[4]{3S^2}[/tex3] , portanto, a altura do triângulo mediano de ABC vale [tex3]\frac{\sqrt[4]{3S^2}}2[/tex3]
Sabemos que a soma das distâncias do ponto citado na questão aos lados desse triângulo é igual a sua altura, assim, sejam [tex3]d_1,d_2[/tex3] e [tex3]d_3[/tex3] essas distâncias. Temos que [tex3]3d_1+2r=\frac{\sqrt[4]{3S^2}}2\implies d_1=\frac13\(\frac{\sqrt[4]{3S^2}}2-2r\)>0\implies\frac{\sqrt[4]{3S^2}}2-2r>0\implies r<\frac{\sqrt[4]{3S^2}}4[/tex3]
Sabemos que a área de um triângulo equilátero em função do lado [tex3]\ell[/tex3] é [tex3]S=\frac{\ell^2\sqrt3}4[/tex3] e que a altura em função do lado é [tex3]h=\frac{\ell\sqrt3}2[/tex3]
Assim, é fácil achar que [tex3]h=\sqrt[4]{3S^2}[/tex3] , portanto, a altura do triângulo mediano de ABC vale [tex3]\frac{\sqrt[4]{3S^2}}2[/tex3]
Sabemos que a soma das distâncias do ponto citado na questão aos lados desse triângulo é igual a sua altura, assim, sejam [tex3]d_1,d_2[/tex3] e [tex3]d_3[/tex3] essas distâncias. Temos que [tex3]3d_1+2r=\frac{\sqrt[4]{3S^2}}2\implies d_1=\frac13\(\frac{\sqrt[4]{3S^2}}2-2r\)>0\implies\frac{\sqrt[4]{3S^2}}2-2r>0\implies r<\frac{\sqrt[4]{3S^2}}4[/tex3]
Dias de luta, dias de glória.
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