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Gabarito: [tex3]z=\frac{2\cdot a\cdot b\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right)}{a+b}[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Geometria - Comprimento da bissetriz interna Tópico resolvido
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Hanon 
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Jul 2017
12
00:31
Geometria - Comprimento da bissetriz interna
Seja [tex3]\Delta ABC[/tex3]
um triângulo retângulo em [tex3]Â[/tex3]
, [tex3]\overline{CD}[/tex3]
é bissetriz do ângulo [tex3]< ACB[/tex3]
. A imagem abaixo traz todas as informações do problema:
Determine [tex3]z[/tex3]
.
Gabarito: [tex3]z=\frac{2\cdot a\cdot b\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right)}{a+b}[/tex3]
Gabarito: [tex3]z=\frac{2\cdot a\cdot b\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right)}{a+b}[/tex3]
Última edição: csmarcelo (Dom 10 Fev, 2019 06:53). Total de 1 vez.
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undefinied3 
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Jul 2017
12
02:40
Re: Geometria - Triângulos
Por Stewart:
[tex3]b^2(c-x)+a^2x=c[z^2+x(c-x)] \rightarrow z^2=\frac{b^2(c-x)+a^2x-cx(c-x)}{c}[/tex3]
Do teorema da bissetriz: [tex3]\frac{a}{c-x}=\frac{b}{x} \rightarrow \frac{x}{c-x}=\frac{b}{a} \rightarrow x=\frac{bc}{a+b}[/tex3]
[tex3]c-x=\frac{ac+bc-bc}{a+b}=\frac{ac}{a+b}[/tex3]
[tex3]z^2=\frac{\frac{ab^2c}{a+b}+\frac{a^2bc}{a+b}-\frac{bc^2}{a+b}\cdot \frac{ac}{a+b}}{c}=\frac{ab[(b+a)^2-c^2]}{(a+b)^2}[/tex3]
[tex3]c^2=a^2+b^2-2ab\cos(C) \rightarrow \cos(C)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=[/tex3]
[tex3]2\cos^2\(\frac{C}{2}\)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+1 \rightarrow \cos^2\(\frac{C}{2}\)=\frac{(a+b)^2-c^2}{4ab} \rightarrow (a+b)^2-c^2=4ab\cos^2\(\frac{C}{2}\)[/tex3]
[tex3]z^2=\frac{ab[(a+b)^2-c^2]}{(a+b)^2}=\frac{ab\cdot 4ab\cos^2\(\frac{C}{2}\)}{(a+b)^2}=\frac{4a^2b^2\cos^2\(\frac{C}{2}\)}{(a+b)^2}[/tex3]
[tex3]\therefore z=\frac{2ab\cos(\frac{C}{2})}{a+b}[/tex3]
Repare que tudo que foi feito não é exclusivo do triângulo retângulo, mas serve para qualquer um.
[tex3]b^2(c-x)+a^2x=c[z^2+x(c-x)] \rightarrow z^2=\frac{b^2(c-x)+a^2x-cx(c-x)}{c}[/tex3]
Do teorema da bissetriz: [tex3]\frac{a}{c-x}=\frac{b}{x} \rightarrow \frac{x}{c-x}=\frac{b}{a} \rightarrow x=\frac{bc}{a+b}[/tex3]
[tex3]c-x=\frac{ac+bc-bc}{a+b}=\frac{ac}{a+b}[/tex3]
[tex3]z^2=\frac{\frac{ab^2c}{a+b}+\frac{a^2bc}{a+b}-\frac{bc^2}{a+b}\cdot \frac{ac}{a+b}}{c}=\frac{ab[(b+a)^2-c^2]}{(a+b)^2}[/tex3]
[tex3]c^2=a^2+b^2-2ab\cos(C) \rightarrow \cos(C)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=[/tex3]
[tex3]2\cos^2\(\frac{C}{2}\)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+1 \rightarrow \cos^2\(\frac{C}{2}\)=\frac{(a+b)^2-c^2}{4ab} \rightarrow (a+b)^2-c^2=4ab\cos^2\(\frac{C}{2}\)[/tex3]
[tex3]z^2=\frac{ab[(a+b)^2-c^2]}{(a+b)^2}=\frac{ab\cdot 4ab\cos^2\(\frac{C}{2}\)}{(a+b)^2}=\frac{4a^2b^2\cos^2\(\frac{C}{2}\)}{(a+b)^2}[/tex3]
[tex3]\therefore z=\frac{2ab\cos(\frac{C}{2})}{a+b}[/tex3]
Repare que tudo que foi feito não é exclusivo do triângulo retângulo, mas serve para qualquer um.
Última edição: undefinied3 (Qua 12 Jul, 2017 02:43). Total de 2 vezes.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
-
Auto Excluído (ID:12031)
- Última visita: 31-12-69
Jul 2017
12
12:14
Re: Geometria - Triângulos
Tem um jeito um pouco mais fácil de ver que é por área e pela fórmula [tex3]2A = ab\sen(C)[/tex3]
Como a area do triangulo ABC é a area do BCD mais a area do ACD
[tex3]ab\sen(C) = az \sen\(\frac{C}2\) + bz\sen\(\frac{C}2\)[/tex3]
de onde o resultado é imediato
[tex3]2ab\cos\(\frac{C}2\) = z(a+b)[/tex3]
Como a area do triangulo ABC é a area do BCD mais a area do ACD
[tex3]ab\sen(C) = az \sen\(\frac{C}2\) + bz\sen\(\frac{C}2\)[/tex3]
de onde o resultado é imediato
[tex3]2ab\cos\(\frac{C}2\) = z(a+b)[/tex3]
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Qua 12 Jul, 2017 12:15). Total de 1 vez.
Jul 2017
14
03:15
Re: Geometria - Triângulos
As soluções dos colegas foram ótimas. Resolvi a questão de uma maneira mais longa, braçal... Vou compartilhar minha solução, é interessante ter mais de uma solução para um mesmo problema.
Pelo Teorema da Bissetriz interna:
[tex3]\frac{y}{a}=\frac{x}{b} \ \ \ \therefore \ \ y=\frac{x}{b}\cdot a[/tex3] , mas [tex3]\frac{x}{b}=\tg \left(\frac{c}{2}\right)[/tex3] . Disso resulta:
[tex3]y=\tg \left(\frac{c}{2}\right)\cdot a[/tex3]
Pela lei dos cossenos [tex3]\Delta BCD[/tex3] :
[tex3]y^{2}=a^{2}+z^{2}-2\cdot a\cdot z\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right)[/tex3] . Como [tex3]y=\tg \left(\frac{c}{2}\right)\cdot a[/tex3] , temos:
[tex3]a^{2}\cdot \tg ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)=a^{2}+z^{2}-2\cdot a\cdot z\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right)[/tex3]
[tex3]z^{2}-2\cdot a\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right)\cdot z+a^{2}-a^{2}\cdot \tg ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)=0[/tex3] . Coloque [tex3]a^{2}[/tex3] em evidência:
[tex3]z^{2}-2\cdot a\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right)\cdot z+a^{2}\cdot [1-\tg ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)]=0[/tex3] . Lembrando da Identidade [tex3]\sec ^{2}c=1+\tg ^{2}c[/tex3]
[tex3]z^{2}-2\cdot a\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right)\cdot z+a^{2}\cdot [2-\sec ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)]=0[/tex3] . temos uma equação do 2° em [tex3]z[/tex3] , onde:
[tex3]a=1 \ \ \therefore \ b=-2\cdot a\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right) \ \ \therefore \ c=a^{2}\cdot [2-\sec ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)][/tex3]
Resolvendo a equação do 2° para encontrar o valor de [tex3]z[/tex3] :
[tex3]z=\frac{2\cdot a\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right)\pm \sqrt{4\cdot a^2\cos ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)-4\cdot 1\cdot a^2\cdot [2-\sec ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)]}}{2}[/tex3] . No radicando coloque [tex3]4a^{2}[/tex3] em evidência: [tex3]z=\frac{2\cdot a\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right)\pm \sqrt{4\cdot a^2\cdot [\cos ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)-2+\sec ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)]}}{2}[/tex3]
[tex3]z=\frac{2\cdot a\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right)\pm 2a\cdot \sqrt{ [\cos ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)-2+\sec ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)]}}{2}[/tex3]
[tex3]z=\frac{2\cdot a\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right)\pm 2a\cdot \sqrt{ [\cos ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)-2+\frac{1}{\cos ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)}]}}{2}[/tex3]
[tex3]z=\frac{2\cdot a\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right)\pm 2a\cdot \sqrt{ [\frac{\cos ^{4}\left(\frac{c}{2}\right)-2\cdot \cos ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)+1}{\cos ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)}]}}{2}[/tex3] . No numerador do radicando temos um trinomio quadrado perfeito:
[tex3]z=\frac{2\cdot a\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right)\pm 2a\cdot \sqrt{ \frac{[\cos ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)-1]^2}{\cos ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)}}}{2}[/tex3]
[tex3]z^{'} =a\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right)+\frac{a\cdot [\cos ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)-1]}{ \cos \left(\frac{c}{2}\right)}[/tex3]
[tex3]z^{'} =\frac{a\cdot \cos^2 \left(\frac{c}{2}\right)+a\cdot [\cos ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)-1]}{ \cos \left(\frac{c}{2}\right)}[/tex3]
[tex3]z^{'} =\frac{a\cdot \cos^2 \left(\frac{c}{2}\right)+a\cdot \cos ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)-a}{ \cos \left(\frac{c}{2}\right)}[/tex3]
[tex3]z^{'} =\frac{2\cdot a\cdot \cos^2 \left(\frac{c}{2}\right)-a}{ \cos \left(\frac{c}{2}\right)}[/tex3]
[tex3]z^{''}=\frac{a}{\cos \left(\frac{c}{2}\right)}[/tex3]
[tex3]z=\frac{2a\cos^2 \left(\frac{c}{2}\right)}{\cos \left(\frac{c}{2}\right)}-\frac{a}{\cos \left(\frac{c}{2}\right)}[/tex3] . Sabendo que [tex3]z=\frac{b}{\cos \left(\frac{c}{2}\right)}\rightarrow \frac{z}{b}=\frac{1}{\cos \left(\frac{c}{2}\right)}[/tex3] . Usando isto:
[tex3]z=2a\cos \left(\frac{c}{2}\right)-a\cdot \frac{1}{\cos \left(\frac{c}{2}\right)}[/tex3]
[tex3]z=2a\cos \left(\frac{c}{2}\right)-a\cdot \frac{z}{b}[/tex3]
[tex3]z+ a\cdot \frac{z}{b}=2a\cos \left(\frac{c}{2}\right)[/tex3]
[tex3]z\cdot \frac{(b+a)}{b}=2a\cos \left(\frac{c}{2}\right)[/tex3]
[tex3]z=\frac{2ab\cos \left(\frac{c}{2}\right)}{a+b}[/tex3]
Obs: Não utilizei [tex3]z^{''}[/tex3] pelo fato de ser um valor inicialmente "fixo" pela razão trigonométrica [tex3]\cos[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]z=\frac{b}{\cos \left(\frac{c}{2}\right)}[/tex3]. Se me equivoquei fiquem a vontade para correções.
Att>>rodBR.
Pelo Teorema da Bissetriz interna:
[tex3]\frac{y}{a}=\frac{x}{b} \ \ \ \therefore \ \ y=\frac{x}{b}\cdot a[/tex3] , mas [tex3]\frac{x}{b}=\tg \left(\frac{c}{2}\right)[/tex3] . Disso resulta:
[tex3]y=\tg \left(\frac{c}{2}\right)\cdot a[/tex3]
Pela lei dos cossenos [tex3]\Delta BCD[/tex3] :
[tex3]y^{2}=a^{2}+z^{2}-2\cdot a\cdot z\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right)[/tex3] . Como [tex3]y=\tg \left(\frac{c}{2}\right)\cdot a[/tex3] , temos:
[tex3]a^{2}\cdot \tg ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)=a^{2}+z^{2}-2\cdot a\cdot z\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right)[/tex3]
[tex3]z^{2}-2\cdot a\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right)\cdot z+a^{2}-a^{2}\cdot \tg ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)=0[/tex3] . Coloque [tex3]a^{2}[/tex3] em evidência:
[tex3]z^{2}-2\cdot a\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right)\cdot z+a^{2}\cdot [1-\tg ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)]=0[/tex3] . Lembrando da Identidade [tex3]\sec ^{2}c=1+\tg ^{2}c[/tex3]
[tex3]z^{2}-2\cdot a\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right)\cdot z+a^{2}\cdot [2-\sec ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)]=0[/tex3] . temos uma equação do 2° em [tex3]z[/tex3] , onde:
[tex3]a=1 \ \ \therefore \ b=-2\cdot a\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right) \ \ \therefore \ c=a^{2}\cdot [2-\sec ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)][/tex3]
Resolvendo a equação do 2° para encontrar o valor de [tex3]z[/tex3] :
[tex3]z=\frac{2\cdot a\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right)\pm \sqrt{4\cdot a^2\cos ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)-4\cdot 1\cdot a^2\cdot [2-\sec ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)]}}{2}[/tex3] . No radicando coloque [tex3]4a^{2}[/tex3] em evidência: [tex3]z=\frac{2\cdot a\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right)\pm \sqrt{4\cdot a^2\cdot [\cos ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)-2+\sec ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)]}}{2}[/tex3]
[tex3]z=\frac{2\cdot a\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right)\pm 2a\cdot \sqrt{ [\cos ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)-2+\sec ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)]}}{2}[/tex3]
[tex3]z=\frac{2\cdot a\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right)\pm 2a\cdot \sqrt{ [\cos ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)-2+\frac{1}{\cos ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)}]}}{2}[/tex3]
[tex3]z=\frac{2\cdot a\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right)\pm 2a\cdot \sqrt{ [\frac{\cos ^{4}\left(\frac{c}{2}\right)-2\cdot \cos ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)+1}{\cos ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)}]}}{2}[/tex3] . No numerador do radicando temos um trinomio quadrado perfeito:
[tex3]z=\frac{2\cdot a\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right)\pm 2a\cdot \sqrt{ \frac{[\cos ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)-1]^2}{\cos ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)}}}{2}[/tex3]
[tex3]z^{'} =a\cdot \cos \left(\frac{c}{2}\right)+\frac{a\cdot [\cos ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)-1]}{ \cos \left(\frac{c}{2}\right)}[/tex3]
[tex3]z^{'} =\frac{a\cdot \cos^2 \left(\frac{c}{2}\right)+a\cdot [\cos ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)-1]}{ \cos \left(\frac{c}{2}\right)}[/tex3]
[tex3]z^{'} =\frac{a\cdot \cos^2 \left(\frac{c}{2}\right)+a\cdot \cos ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)-a}{ \cos \left(\frac{c}{2}\right)}[/tex3]
[tex3]z^{'} =\frac{2\cdot a\cdot \cos^2 \left(\frac{c}{2}\right)-a}{ \cos \left(\frac{c}{2}\right)}[/tex3]
[tex3]z^{''}=\frac{a}{\cos \left(\frac{c}{2}\right)}[/tex3]
[tex3]z=\frac{2a\cos^2 \left(\frac{c}{2}\right)}{\cos \left(\frac{c}{2}\right)}-\frac{a}{\cos \left(\frac{c}{2}\right)}[/tex3] . Sabendo que [tex3]z=\frac{b}{\cos \left(\frac{c}{2}\right)}\rightarrow \frac{z}{b}=\frac{1}{\cos \left(\frac{c}{2}\right)}[/tex3] . Usando isto:
[tex3]z=2a\cos \left(\frac{c}{2}\right)-a\cdot \frac{1}{\cos \left(\frac{c}{2}\right)}[/tex3]
[tex3]z=2a\cos \left(\frac{c}{2}\right)-a\cdot \frac{z}{b}[/tex3]
[tex3]z+ a\cdot \frac{z}{b}=2a\cos \left(\frac{c}{2}\right)[/tex3]
[tex3]z\cdot \frac{(b+a)}{b}=2a\cos \left(\frac{c}{2}\right)[/tex3]
[tex3]z=\frac{2ab\cos \left(\frac{c}{2}\right)}{a+b}[/tex3]
Obs: Não utilizei [tex3]z^{''}[/tex3] pelo fato de ser um valor inicialmente "fixo" pela razão trigonométrica [tex3]\cos[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]z=\frac{b}{\cos \left(\frac{c}{2}\right)}[/tex3]. Se me equivoquei fiquem a vontade para correções.
Att>>rodBR.
Última edição: rodBR (Sex 14 Jul, 2017 04:21). Total de 1 vez.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
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