Determine o menor número inteiro positivo pelo qual devemos multiplicar o número 3675 para obtermos um cubo perfeito
Gabarito:315
Ensino Médio ⇒ ETQ-RJ/89-Múltiplos e divisores Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jul 2017
10
17:15
Re: ETQ-RJ/89-Múltiplos e divisores
Boa tarde, Snowden.
3675 = 3¹.5².7²
Para se formar o menor cubo perfeito, será necessário multiplicar por cada um dos fatores primos do número em pauta, elevados a um expoente que complete os expoentes de 3675 para o primeiro múltiplo de 3 em cada um deles.
Assim, deve-se multiplicar:
3¹ por 3²
5² por 5¹
7² por 7¹
3²*5*7 = 315
"De novo, lhes falava Jesus, dizendo: Eu sou a luz do mundo; quem me segue não andará nas trevas; pelo contrário, terá a luz da vida." — João 8:12
Jul 2017
10
17:20
Re: ETQ-RJ/89-Múltiplos e divisores
Decompondo em fatores primos
[tex3]3675=3\cdot5^2\cdot7^2[/tex3]
Para ele ser um cubo perfeito, cada fator primo deve ter exponente igual a 3, afinal:
[tex3]{(a_1\cdot a_2\cdot...\cdot a_n)}^m={a_1}^m\cdot{a_2}^m\cdot...\cdot{a_n}^m[/tex3]
[tex3]3^3\cdot5^3\cdot7^3=\left(3\cdot5^2\cdot7^2\right)\left(3^2\cdot5\cdot7\right)=3675\cdot315[/tex3]
[tex3]3675=3\cdot5^2\cdot7^2[/tex3]
Para ele ser um cubo perfeito, cada fator primo deve ter exponente igual a 3, afinal:
[tex3]{(a_1\cdot a_2\cdot...\cdot a_n)}^m={a_1}^m\cdot{a_2}^m\cdot...\cdot{a_n}^m[/tex3]
[tex3]3^3\cdot5^3\cdot7^3=\left(3\cdot5^2\cdot7^2\right)\left(3^2\cdot5\cdot7\right)=3675\cdot315[/tex3]
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