Ensino Médio ⇒ Progressão Geométrica Tópico resolvido

[Guilherme Stresser]

Calcule o valor da expressão [tex3]sqrt {a \sqrt {a \sqrt {a \sqrt {a\ldots}}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sqrt {a \sqrt {a \sqrt {a \sqrt {a\ldots}}}}[/tex3]

quando o número de radicais cresce indefinidamente.

Poderiam me ajudar mais uma vez?
Obrigado a todos que responderam os tópicos anteriores.

[Thales Gheós]

Tenho visto em muitos livros o uso do método abaixo. Acho que não chega a ser uma indução no sentido mais formal da lógica. É algo como "intuir" uma lei de formação. Gostaria que o prof. Caju pudesse discutir a validade dessa técnica.

• [tex3]n=1 \Rightarrow \sqrt{a}=\sqrt[2]{a^1}[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]n=1 \Rightarrow \sqrt{a}=\sqrt[2]{a^1}[/tex3]

  
  
  [tex3]n=2 \Rightarrow \sqrt{a\sqrt{a}}=\sqrt[4]{a^3}[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]n=2 \Rightarrow \sqrt{a\sqrt{a}}=\sqrt[4]{a^3}[/tex3]

  
  
  [tex3]n=3 \Rightarrow \sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}=\sqrt[8]{a^7}[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]n=3 \Rightarrow \sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}=\sqrt[8]{a^7}[/tex3]

  
  
  [tex3]\text{ } \vdots[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\text{ } \vdots[/tex3]

  
  [tex3]\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}}\ldots =\sqrt[2^n]{a^{(2^n-1)}}[/tex3]

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  [tex3]\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}}\ldots =\sqrt[2^n]{a^{(2^n-1)}}[/tex3]

[Guilherme Stresser]

Estranho, tenho o gabarito da questão aqui e diz que a resposta é [tex3]a.[/tex3]

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[tex3]a.[/tex3]

[Thales Gheós]

Ok. Se considerarmos:

• [tex3]\sqrt[2^n]{a^{(2^n-1)}}=a^{(\frac{2^n-1}{2^n})[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\sqrt[2^n]{a^{(2^n-1)}}=a^{(\frac{2^n-1}{2^n})[/tex3]

então podemos considerar o limite:

• [tex3]\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2^n-1}{2^n}=\lim_{n\rightarrow\infty}1-\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2^n}=1[/tex3]

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  [tex3]\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2^n-1}{2^n}=\lim_{n\rightarrow\infty}1-\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2^n}=1[/tex3]

então, de fato, no limite:

• [tex3]\sqrt[2^n]{a^{(2^n-1)}}=a[/tex3]

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  [tex3]\sqrt[2^n]{a^{(2^n-1)}}=a[/tex3]

[caju]

Olá Thales e Guilherme,

Essa fórmula que você postou, Thales, pode ser provada sua veracidade através de indução, não é muito difícil não.

Mas existe uma maneira mais simples de resolvermos. Pode ser utilizado o método descrito na questão abaixo:

Infinitas Potências

Vou deixar como um desafio então, resolver a questão do Guilherme utilizando o método acima.
Se até hoje de noite ninguém tiver resolvido neste tópico, eu posto a solução.

[Thales Gheós]

Olá Cajú,

obrigado por ter respondido. Fui ver o desafio de [tex3]x^{x^{x^{x}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{x^{x^{x}}}[/tex3]

e não consegui compreender a solução que você deu. Gostaria que tentasse explicar essa e também como seria fazer a indução da questão do Guilherme Stresser

Mais uma vez obrigado pela atenção.

Thales

[caju]

Olá Guilherme e Thales,

Vou primeiramente resolver a questão sem utilizar a fórmula.

Vamos igualar o pedido a [tex3]x:[/tex3]

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[tex3]x:[/tex3]

(1) [tex3]x=\sqrt {a \sqrt {a \sqrt {a \sqrt {a\ldots}}}}[/tex3]

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[tex3]x=\sqrt {a \sqrt {a \sqrt {a \sqrt {a\ldots}}}}[/tex3]

Agora vamos elevar ao quadrado:

(2) [tex3]x^2=a \sqrt {a \sqrt {a \sqrt {a \ldots}}}[/tex3]

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[tex3]x^2=a \sqrt {a \sqrt {a \sqrt {a \ldots}}}[/tex3]

Note que agora o lado direito da equação possui o [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

multiplicado pelas infinitas raízes.

Mas a equação (1) nos diz que estas infinitas raízes valem [tex3]x,[/tex3]

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[tex3]x,[/tex3]

ou seja, podemos substituir (1) em (2):

• [tex3]x^2=ax[/tex3]

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  [tex3]x^2=ax[/tex3]

  
  
  [tex3]x^2-ax=0[/tex3]

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  [tex3]x^2-ax=0[/tex3]

  
  
  [tex3]x(x-a)=0[/tex3]

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  [tex3]x(x-a)=0[/tex3]

Desta equação tiramos que [tex3]x=0[/tex3]

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[tex3]x=0[/tex3]

ou [tex3]x=a.[/tex3]

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[tex3]x=a.[/tex3]

[tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

só será zero quando [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

for zero, ou seja, podemos dar como resposta somente [tex3]x=a.[/tex3]

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[tex3]x=a.[/tex3]

[Thales Gheós]

Excelente Caju! Super bom. Foi uma aula. Aprender é muito bom.

Abraço,

Thales

[Guilherme Stresser]

Brilhante!

Obrigado.
Abraços