Ensino Médio

Em um triângulo isósceles ABC com AB=AC, sejam D, E e F pontos sobre os lados AB, AC e BC, respectivamente, tais que o triângulo DEF seja equilátero. Se <DFB = a, <ADE = b e <CEF = c, então pode-se afirmar que:

a)[tex3]b=\frac{a+c}{2}[/tex3]
b)[tex3]b=\frac{a-c}{2}[/tex3]
c)[tex3]a=\frac{b-c}{2}[/tex3]
d)[tex3]a=\frac{b+c}{2}[/tex3]
e)[tex3]c=\frac{a+b}{2}[/tex3]

Mensagem não lidapor **danjr5** » Sáb 08 Jul, 2017 22:07

Olá!

De acordo com o enunciado, o triângulo ABC é isósceles de base BC. Assim, considere [tex3]\mathbf{\hat{B} = x}[/tex3] , [tex3]\mathbf{\hat{C} = x}[/tex3] e [tex3]\mathbf{\hat{A} = 180^o - x}[/tex3] .

Por conseguinte, marque sobre os lados AB, AC e BC os pontos D, E e F; respectivamente. Feito isto, note que:

- BFE é um ângulo externo do triângulo FCE. Daí,

[tex3]\\ \mathsf{B\hat{F}E = F\hat{E}C + F\hat{C}E} \\\\ \mathsf{a + 60^o = c + x} \\\\ \mathsf{a + 60^o - c = x \qquad \qquad \qquad (i)}[/tex3]

- ADF é um ângulo externo do triângulo BFD. Então,

[tex3]\\ \mathsf{A\hat{D}F = B\hat{F}D + F\hat{B}D} \\\\ \mathsf{b + 60^o = a + x} \\\\ \mathsf{b + 60^o - a = x \qquad \qquad \qquad (ii)}[/tex3]

Igualando (i) e (ii),

[tex3]\\ \mathsf{a + 60^o - c = b + 60^o - a} \\\\ \mathsf{a - c = b - a} \\\\ \mathsf{2a = b + c} \\\\ \boxed{\mathsf{a = \frac{b + c}{2}}}[/tex3]

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