Ensino Médio

Resolva a equação nos reais:
[tex3]x\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}=2\sqrt{x^2+1}[/tex3]

Alguém saberia resolver por substituição trigonométrica ou qualquer outra? A solução que eu conheço é pela desigualdade de Cauchy, mas é muito complicado enxergar ela sozinho. Eu acho que tem como resolver por trigonometria pois as raízes são 1 e [tex3]1+\sqrt{2}[/tex3] , que seriam justamente [tex3]tg(\frac{\pi}{4})[/tex3] e [tex3]tg(\frac{3\pi}{8})[/tex3] , mas não consegui concluir o problema.

Para tomar uma liberdade, faça [tex3]x=a+b[/tex3] .

[tex3]a\sqrt{a+b+1}+b\sqrt{a+b+1}+\sqrt{3-a-b}=2\sqrt{a^2+2ab+b^2+1}[/tex3]

Agora, seria tão bom se ocorresse o seguinte para nós:

[tex3]a\sqrt{a+b+1}=-\sqrt{3-a-b}\\
b\sqrt{a+b+1}=2\sqrt{a^2+2ab+b^2+1}[/tex3]

Onde uma solução claramente é b=2 e a=-1, pois por inspeção x=1, e portanto a+b=1, e ajeitando os valores de a e b na equação, chegamos a esse resultado. É claro que se elevarmos a expressão ao quadrado teremos um polinômio misto de 3º grau, mas vamos ver o que acontece:

[tex3]\begin{cases}
a^3+a^2b+a^2=3-a-b \\
b^2a+b^3+b^2=4a^2+8ab+4b^2+4
\end{cases}[/tex3]

A primeira equação pode ser manipulada para chegar-se em [tex3](a^2+1)(a+b+1)=4[/tex3]

A segunda já é um pouco mais complicada

[tex3]b^2a+b^3+b^2=4a^2+8ab+4b^2+4\\
b^2a+b^3+b^2=4(a^2+b^2+2ab+1)\\
b^2a+b^3+b^2=4((a+b+1)^2-2(a+b+1)+2)\\
b^2a+b^3+b^2=4(a+b+1)^2-8(a+b+1)+8\\
b^2(a+b+1)=4(a+b+1)^2-8(a+b+1)+8[/tex3]

Por uma questão de brevidade, [tex3]t=a+b+1[/tex3] . Temos então

[tex3]\begin{cases}
(a^2+1)t=4 \\
4t^2-(8+b^2)t+8=0
\end{cases}[/tex3]

Tentei algumas coisas aí mas não deu em nada. Como que funciona essa resolução por Cauchy?

A condição de existência nos diz que [tex3]-1\leq x\leq 3[/tex3] .

Temos que:

[tex3]x\sqrt{x+1}=2\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{3-x}[/tex3] . Elevando ambos os membros da igualdade e desenvolvendo chegamos em:

[tex3]x^3-3x^2+x-7=-4\sqrt{3-(x^3-3x^2+x)}[/tex3] .

Fazendo [tex3]x^3-3x^2+x=y[/tex3] temos:

[tex3]y-7=-4\sqrt{3-y}[/tex3] . Elevando ao quadrado e desenvolvendo chegamos em:

[tex3]y^2+2y+1=(y+1)^2=0[/tex3]
[tex3]\rightarrow y=-1[/tex3] . Como [tex3]x^3-3x^2+x=y[/tex3] temos que:

[tex3]x^{3}-3x^2+x+1=0[/tex3] . Se existir uma raiz inteira deve ser divisora do termo independente (1). As possibilidades são 1 e -1. Testando encontramos 1, Logo:

[tex3]x^{3}-3x^2+x+1=0[/tex3]
[tex3]\rightarrow (x-1)(x^2-2x-1)=0[/tex3]

Resolvendo chegamos as raízes [tex3]1, (1+\sqrt{2},1-\sqrt{2})[/tex3] , das quais apenas duas obedecem a condição de existência.

Espero ter ajudado.

[tex3]s=\{1,1+\sqrt{2\}}[/tex3]

Ótima solução, marcviana. Quando tentei resolver elevando ao quadrado, não tinha passado a raiz pro outro lado e não percebi uma substituição que ajudaria.

E André, a equação fala que a situação de igualdade da desigualdade de cauchy está ocorrendo. Agora to no celular e fica ruim digitar, mas chegando em casa qualquer coisa eu posto de novo.

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