Ensino Médio ⇒ Equações II Tópico resolvido

[Hanon]

Determine todas as soluções reais da equação [tex3]x+\sqrt{1-x^2}=\sqrt{2}(2x^{2\cdot }-1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x+\sqrt{1-x^2}=\sqrt{2}(2x^{2\cdot }-1)[/tex3]

.

[mateusITA]

[tex3]1-x^2[/tex3]

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[tex3]1-x^2[/tex3]

deve ser maior ou igual a 0, o que implica em [tex3]-1 \leq x \leq 1[/tex3]

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[tex3]-1 \leq x \leq 1[/tex3]

. Substitua x por [tex3]cos\alpha[/tex3]

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[tex3]cos\alpha[/tex3]

. No outro lado da equação, aparecerá [tex3]2cos^2\alpha-1[/tex3]

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[tex3]2cos^2\alpha-1[/tex3]

que é igual [tex3]cos(2\alpha)[/tex3]

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[tex3]cos(2\alpha)[/tex3]

. Daí, é só terminar as contas...

[undefinied3]

Fazendo [tex3]x=cos(y)[/tex3]

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[tex3]x=cos(y)[/tex3]

[tex3]cos(y)\pm sen(y)=\sqrt{2}cos(2y) \rightarrow sen(\frac{\pi}{4}\pm y)=sen(\frac{\pi}{2}-2y)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cos(y)\pm sen(y)=\sqrt{2}cos(2y) \rightarrow sen(\frac{\pi}{4}\pm y)=sen(\frac{\pi}{2}-2y)[/tex3]

[tex3]\frac{\pi}{4} + y = \frac{\pi}{2}-2y \rightarrow 3y=\frac{\pi}{4} \rightarrow y=\frac{\pi}{12}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi}{4} + y = \frac{\pi}{2}-2y \rightarrow 3y=\frac{\pi}{4} \rightarrow y=\frac{\pi}{12}[/tex3]

[tex3]\frac{\pi}{4} - y = \frac{\pi}{2}-2y \rightarrow y=\frac{\pi}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi}{4} - y = \frac{\pi}{2}-2y \rightarrow y=\frac{\pi}{4}[/tex3]

Então [tex3]x=cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]x=cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

ou [tex3]x=cos(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}[/tex3]

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[tex3]x=cos(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}[/tex3]

Outras voltas no ciclo não dão soluções válidas.

[Hanon]

Valeu MateusITA e Undefinied3.

[Babi123]

viewtopic.php?f=3&t=55752 Por que as soluções divergem?