Ensino Médio

451(Gandhi)
Se m é um inteiro positivo qualquer e n um inteiro positivo tal que m+n+1 é um quadrado perfeito e mn+1 é um cubo perfeito então n pode ter a forma:

a)m^2+m+3 b)m^2+2m+3 c)m^2+3m+3 d)m^2+m+8 e)m^2+m+9

Mensagem não lidapor **jedi** » Dom 18 Jun, 2017 11:29 · Mensagem não lida por **jedi** » Dom 18 Jun, 2017 11:29

[tex3]m+n+1=x^2[/tex3]

[tex3]n=x^2-1-m[/tex3]

[tex3]mn+1=y^3[/tex3]

[tex3]m(x^2-m-1)+1=y^3[/tex3]

[tex3]x^2m-m^2-m+1=y^3[/tex3]

suponha que [tex3]x=m+b[/tex3]

[tex3](m+b)^2m-m^2-m+1=y^3[/tex3]

[tex3]m^3+(2b-1)m^2+(b^2-1)m+1=y^3[/tex3]

mas [tex3](m+1)^3=m^3+3m^2+3m+1[/tex3]

se b=2 essa condição é satisfeita então

[tex3]x=m+2[/tex3]

[tex3]n=x^2-1-m[/tex3]

[tex3]n=(m+2)^2-1-m[/tex3]

[tex3]n=m^2+3m+3[/tex3]

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