Calcule sem usar L'Hospital:
[tex3]lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}[/tex3]
[tex3]R:49/24[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Limites Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jan 2018
09
00:06
Re: Limites
Olá Ronny, boa noite. Confesso que não tinha visto esse "clássico". 
Solução:
Obviamente, se substituirmos 1 o limite resultará na indeterminação [tex3]\frac{0}{0}[/tex3] . Para escapar disso, temos que fazer algumas "manobrinhas" da álgebra elementar.
Inicialmente, lembre da identidade:
[tex3]\boxed{\boxed{x^{n}-1=(x-1)\cdot (x^{n-1}+x^{n-2}+ \ ... \ +x+1)}}[/tex3] ....... [tex3](*)[/tex3]
[tex3]lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}[/tex3]
[tex3]lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{100}-2x+2-1}{x^{50}-2x+2-1}[/tex3]
[tex3]lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x^{100}-1)-2x+2}{(x^{50}-1)-2x+2}[/tex3] . Usando [tex3](*)[/tex3] , temos:
[tex3]lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)\cdot (x^{99}+x^{98}+ \ ... \ x+1)-2\cdot (x-1)}{(x-1)\cdot (x^{49}+x^{48}+ \ ... \ x+1)-2\cdot (x-1)}[/tex3] .
[tex3]lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)\cdot (x^{99}+x^{98}+ \ ... \ x+1-2)}{(x-1)\cdot (x^{49}+x^{48}+ \ ... \ x+1-2)}[/tex3]
[tex3]lim_{x\rightarrow 1}\frac{ (x^{99}+x^{98}+ \ ... \ x+1-2)}{ (x^{49}+x^{48}+ \ ... \ x+1-2)}[/tex3] . Aplicando limite, obtemos:
[tex3]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{ 100-2}{ 50-2}[/tex3]
[tex3]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \frac{98}{48}[/tex3]
[tex3]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\boxed{\boxed{\frac{49}{24}}}[/tex3]
att>>rodBR.
Solução:
Obviamente, se substituirmos 1 o limite resultará na indeterminação [tex3]\frac{0}{0}[/tex3] . Para escapar disso, temos que fazer algumas "manobrinhas" da álgebra elementar.
Inicialmente, lembre da identidade:
[tex3]\boxed{\boxed{x^{n}-1=(x-1)\cdot (x^{n-1}+x^{n-2}+ \ ... \ +x+1)}}[/tex3] ....... [tex3](*)[/tex3]
[tex3]lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}[/tex3]
[tex3]lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{100}-2x+2-1}{x^{50}-2x+2-1}[/tex3]
[tex3]lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x^{100}-1)-2x+2}{(x^{50}-1)-2x+2}[/tex3] . Usando [tex3](*)[/tex3] , temos:
[tex3]lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)\cdot (x^{99}+x^{98}+ \ ... \ x+1)-2\cdot (x-1)}{(x-1)\cdot (x^{49}+x^{48}+ \ ... \ x+1)-2\cdot (x-1)}[/tex3] .
[tex3]lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)\cdot (x^{99}+x^{98}+ \ ... \ x+1-2)}{(x-1)\cdot (x^{49}+x^{48}+ \ ... \ x+1-2)}[/tex3]
[tex3]lim_{x\rightarrow 1}\frac{ (x^{99}+x^{98}+ \ ... \ x+1-2)}{ (x^{49}+x^{48}+ \ ... \ x+1-2)}[/tex3] . Aplicando limite, obtemos:
[tex3]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{ 100-2}{ 50-2}[/tex3]
[tex3]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \frac{98}{48}[/tex3]
[tex3]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\boxed{\boxed{\frac{49}{24}}}[/tex3]
att>>rodBR.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
Jan 2018
09
19:23
Re: Limites
Show de bola ! eu resolvi de uma outra maneira, utilizando binomio de newton uma formulinha classica, e fazer uma substituicao legal, para ficar com uma cara ja bem mais legal ! (1+x)^n = 1+nx.
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