Ensino MédioLimites Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
Ronny
Guru
Mensagens: 436
Registrado em: Qua 19 Abr, 2017 22:55
Última visita: 02-11-18
Jun 2017 14 18:00

Limites

Mensagem não lida por Ronny »

Calcule o Limite sem usar L'Hospital:

[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+mx)^{n}-(1+nx)^{m}}{x^{2}}[/tex3]

[tex3]R: m.n(n-m)/2[/tex3]

Última edição: Ronny (Qua 14 Jun, 2017 18:00). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
rodBR
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 592
Registrado em: Sáb 28 Jan, 2017 22:37
Última visita: 04-03-24
Jan 2018 12 22:43

Re: Limites

Mensagem não lida por rodBR »

Olá Ronny, boa noite.

Perceba, inicialmente que:
[tex3](1+mx)^{n}=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(mx)^i=1+mnx+\frac{n(n-1)m^2x^2}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}(mx)^i[/tex3]
[tex3](1+nx)^{m}=\sum_{i=0}^{m}\binom{m}{i}(nx)^i=1+nmx+\frac{m(m-1)n^2x^2}{2}+\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}(nx)^i[/tex3]

Disso vem:
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+mx)^{n}-(1+nx)^{m}}{x^{2}}[/tex3]
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\frac{1+mnx+\frac{n(n-1)m^2x^2}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}(mx)^i-[1+nmx+\frac{m(m-1)n^2x^2}{2}+\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}(nx)^i]}{x^2}[/tex3]
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{n(n-1)m^2x^2}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}(mx)^i-\frac{m(m-1)n^2x^2}{2}-\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}(nx)^i}{x^2}[/tex3] . Dividindo numerador e denominador por [tex3]x^2[/tex3] , obtemos:
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{n(n-1)m^2}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}m^ix^{i-2}-\frac{m(m-1)n^2}{2}-\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}n^ix^{i-2}\right)[/tex3]
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{n(n-1)m^2}{2}-\frac{m(m-1)n^2}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}m^ix^{i-2}-\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}n^ix^{i-2}\right)[/tex3] . Colocando [tex3]mn[/tex3] em evidência:
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{mn[(mn-m)-(nm-n)]}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}m^ix^{i-2}-\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}n^ix^{i-2}\right)[/tex3]
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{mn(n-m)}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}m^ix^{i-2}-\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}n^ix^{i-2}\right)[/tex3]

Agora, aplicando limite, vai restar apenas [tex3]\frac{mn(n-m)}{2}[/tex3] , já que [tex3]x[/tex3] tende à 0.

Portanto,
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+mx)^{n}-(1+nx)^{m}}{x^{2}}=\boxed{\boxed{\frac{mn(n-m)}{2}}}[/tex3]




att>>rodBR.

Última edição: rodBR (Sex 12 Jan, 2018 23:43). Total de 2 vezes.


"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem Limites e funções
    por Ósmio » » em Ensino Superior
    1 Respostas
    555 Exibições
    Última msg por Cardoso1979
  • Nova mensagem Limites
    por Yoonsp » » em Ensino Superior
    1 Respostas
    501 Exibições
    Última msg por snooplammer
  • Nova mensagem Limites
    por Gabi123 » » em Ensino Superior
    1 Respostas
    425 Exibições
    Última msg por Cardoso1979
  • Nova mensagem Limites
    por Yoonsp » » em Ensino Superior
    1 Respostas
    464 Exibições
    Última msg por Cardoso1979
  • Nova mensagem (EN 09) Limites
    por Deleted User 23699 » » em IME / ITA
    0 Respostas
    607 Exibições
    Última msg por Deleted User 23699

Voltar para “Ensino Médio”