Calcule o Limite sem usar L'Hospital:
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+mx)^{n}-(1+nx)^{m}}{x^{2}}[/tex3]
[tex3]R: m.n(n-m)/2[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Limites Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jan 2018
12
22:43
Re: Limites
Olá Ronny, boa noite.
Perceba, inicialmente que:
[tex3](1+mx)^{n}=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(mx)^i=1+mnx+\frac{n(n-1)m^2x^2}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}(mx)^i[/tex3]
[tex3](1+nx)^{m}=\sum_{i=0}^{m}\binom{m}{i}(nx)^i=1+nmx+\frac{m(m-1)n^2x^2}{2}+\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}(nx)^i[/tex3]
Disso vem:
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+mx)^{n}-(1+nx)^{m}}{x^{2}}[/tex3]
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\frac{1+mnx+\frac{n(n-1)m^2x^2}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}(mx)^i-[1+nmx+\frac{m(m-1)n^2x^2}{2}+\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}(nx)^i]}{x^2}[/tex3]
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{n(n-1)m^2x^2}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}(mx)^i-\frac{m(m-1)n^2x^2}{2}-\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}(nx)^i}{x^2}[/tex3] . Dividindo numerador e denominador por [tex3]x^2[/tex3] , obtemos:
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{n(n-1)m^2}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}m^ix^{i-2}-\frac{m(m-1)n^2}{2}-\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}n^ix^{i-2}\right)[/tex3]
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{n(n-1)m^2}{2}-\frac{m(m-1)n^2}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}m^ix^{i-2}-\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}n^ix^{i-2}\right)[/tex3] . Colocando [tex3]mn[/tex3] em evidência:
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{mn[(mn-m)-(nm-n)]}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}m^ix^{i-2}-\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}n^ix^{i-2}\right)[/tex3]
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{mn(n-m)}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}m^ix^{i-2}-\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}n^ix^{i-2}\right)[/tex3]
Agora, aplicando limite, vai restar apenas [tex3]\frac{mn(n-m)}{2}[/tex3] , já que [tex3]x[/tex3] tende à 0.
Portanto,
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+mx)^{n}-(1+nx)^{m}}{x^{2}}=\boxed{\boxed{\frac{mn(n-m)}{2}}}[/tex3]
att>>rodBR.
Perceba, inicialmente que:
[tex3](1+mx)^{n}=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(mx)^i=1+mnx+\frac{n(n-1)m^2x^2}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}(mx)^i[/tex3]
[tex3](1+nx)^{m}=\sum_{i=0}^{m}\binom{m}{i}(nx)^i=1+nmx+\frac{m(m-1)n^2x^2}{2}+\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}(nx)^i[/tex3]
Disso vem:
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+mx)^{n}-(1+nx)^{m}}{x^{2}}[/tex3]
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\frac{1+mnx+\frac{n(n-1)m^2x^2}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}(mx)^i-[1+nmx+\frac{m(m-1)n^2x^2}{2}+\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}(nx)^i]}{x^2}[/tex3]
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{n(n-1)m^2x^2}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}(mx)^i-\frac{m(m-1)n^2x^2}{2}-\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}(nx)^i}{x^2}[/tex3] . Dividindo numerador e denominador por [tex3]x^2[/tex3] , obtemos:
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{n(n-1)m^2}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}m^ix^{i-2}-\frac{m(m-1)n^2}{2}-\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}n^ix^{i-2}\right)[/tex3]
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{n(n-1)m^2}{2}-\frac{m(m-1)n^2}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}m^ix^{i-2}-\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}n^ix^{i-2}\right)[/tex3] . Colocando [tex3]mn[/tex3] em evidência:
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{mn[(mn-m)-(nm-n)]}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}m^ix^{i-2}-\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}n^ix^{i-2}\right)[/tex3]
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{mn(n-m)}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}m^ix^{i-2}-\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}n^ix^{i-2}\right)[/tex3]
Agora, aplicando limite, vai restar apenas [tex3]\frac{mn(n-m)}{2}[/tex3] , já que [tex3]x[/tex3] tende à 0.
Portanto,
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+mx)^{n}-(1+nx)^{m}}{x^{2}}=\boxed{\boxed{\frac{mn(n-m)}{2}}}[/tex3]
att>>rodBR.
Última edição: rodBR (Sex 12 Jan, 2018 23:43). Total de 2 vezes.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
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