Ensino Médio ⇒ Limites Tópico resolvido

[Ronny]

Calcule o Limite sem usar L'Hospital:

[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+mx)^{n}-(1+nx)^{m}}{x^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+mx)^{n}-(1+nx)^{m}}{x^{2}}[/tex3]

[tex3]R: m.n(n-m)/2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R: m.n(n-m)/2[/tex3]

[rodBR]

Olá Ronny, boa noite.

Perceba, inicialmente que:
[tex3](1+mx)^{n}=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(mx)^i=1+mnx+\frac{n(n-1)m^2x^2}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}(mx)^i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1+mx)^{n}=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(mx)^i=1+mnx+\frac{n(n-1)m^2x^2}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}(mx)^i[/tex3]

[tex3](1+nx)^{m}=\sum_{i=0}^{m}\binom{m}{i}(nx)^i=1+nmx+\frac{m(m-1)n^2x^2}{2}+\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}(nx)^i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1+nx)^{m}=\sum_{i=0}^{m}\binom{m}{i}(nx)^i=1+nmx+\frac{m(m-1)n^2x^2}{2}+\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}(nx)^i[/tex3]

Disso vem:
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+mx)^{n}-(1+nx)^{m}}{x^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+mx)^{n}-(1+nx)^{m}}{x^{2}}[/tex3]

[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\frac{1+mnx+\frac{n(n-1)m^2x^2}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}(mx)^i-[1+nmx+\frac{m(m-1)n^2x^2}{2}+\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}(nx)^i]}{x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\frac{1+mnx+\frac{n(n-1)m^2x^2}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}(mx)^i-[1+nmx+\frac{m(m-1)n^2x^2}{2}+\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}(nx)^i]}{x^2}[/tex3]

[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{n(n-1)m^2x^2}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}(mx)^i-\frac{m(m-1)n^2x^2}{2}-\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}(nx)^i}{x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{n(n-1)m^2x^2}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}(mx)^i-\frac{m(m-1)n^2x^2}{2}-\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}(nx)^i}{x^2}[/tex3]

. Dividindo numerador e denominador por [tex3]x^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2[/tex3]

, obtemos:
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{n(n-1)m^2}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}m^ix^{i-2}-\frac{m(m-1)n^2}{2}-\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}n^ix^{i-2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{n(n-1)m^2}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}m^ix^{i-2}-\frac{m(m-1)n^2}{2}-\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}n^ix^{i-2}\right)[/tex3]

[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{n(n-1)m^2}{2}-\frac{m(m-1)n^2}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}m^ix^{i-2}-\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}n^ix^{i-2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{n(n-1)m^2}{2}-\frac{m(m-1)n^2}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}m^ix^{i-2}-\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}n^ix^{i-2}\right)[/tex3]

. Colocando [tex3]mn[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]mn[/tex3]

em evidência:
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{mn[(mn-m)-(nm-n)]}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}m^ix^{i-2}-\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}n^ix^{i-2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{mn[(mn-m)-(nm-n)]}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}m^ix^{i-2}-\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}n^ix^{i-2}\right)[/tex3]

[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{mn(n-m)}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}m^ix^{i-2}-\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}n^ix^{i-2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{mn(n-m)}{2}+\sum_{i=3}^{n}\binom{n}{i}m^ix^{i-2}-\sum_{i=3}^{m}\binom{m}{i}n^ix^{i-2}\right)[/tex3]

Agora, aplicando limite, vai restar apenas [tex3]\frac{mn(n-m)}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{mn(n-m)}{2}[/tex3]

, já que [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

tende à 0.

Portanto,
[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+mx)^{n}-(1+nx)^{m}}{x^{2}}=\boxed{\boxed{\frac{mn(n-m)}{2}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+mx)^{n}-(1+nx)^{m}}{x^{2}}=\boxed{\boxed{\frac{mn(n-m)}{2}}}[/tex3]

att>>rodBR.