Ensino MédioGeometria Plana - Área Tópico resolvido

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Autor do Tópico
Auto Excluído (ID:17906)
6 - Doutor
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Jun 2017 14 15:01

Geometria Plana - Área

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17906) »

A figura abaixo mostra um triângulo equilátero de lado [tex3]1,[/tex3] um círculo inscrito, é um segmento círculo tangente a dois lados do triângulo e tangente exteriormente ao primeiro círculo:
IMG_20170612_135039567.jpg
Encontre a área da região sombreada por um lado do triângulo e pelos dois círculos.
a) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\pi}{324} -
\frac{\pi}{36}.[/tex3]
b) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\pi}{324} -
\frac{\pi}{72}.[/tex3]
c) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{27} - \frac{\pi}{324} -
\frac{\pi}{72}.[/tex3]
d) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{27} - \frac{\pi}{324} -
\frac{\pi}{36}.[/tex3]
e) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\pi}{162} -
\frac{\pi}{72}.[/tex3]

Última edição: Auto Excluído (ID:17906) (Qua 14 Jun, 2017 15:01). Total de 1 vez.



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314159265
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Jun 2017 19 01:25

Re: Geometria Plana - Área

Mensagem não lida por 314159265 »

O centro da circunferência maior é o baricentro do triângulo equilátero. Portanto temos que [tex3]R=\frac{1}{3}\times h[/tex3] . Mas sabemos que a altura de um triângulo equilátero vale [tex3]\frac{l\sqrt{3}}{2}[/tex3] . Como [tex3]l=1[/tex3] , temos: [tex3]R=\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt {3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}[/tex3] . Se você traçar um segmento de reta horizontal no ponto de tangência entre os dois círculos, vai achar um outro pequeno triângulo equilátero. A partir dele dá pra encontrar o r (raio da circunferência menor), pois ele é justamente a terça parte da altura do triângulo pequeno. Sabendo R e r e desenhando a figura em anexo, acho que já dá pra você resolver sozinho.
Anexos
TRIANGULOOOOOOO.png

Última edição: 314159265 (Seg 19 Jun, 2017 01:25). Total de 3 vezes.



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Hinani
sênior
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Jul 2020 16 20:43

Re: Geometria Plana - Área

Mensagem não lida por Hinani »

alguém poderia explicar de forma mais clara por favor?



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314159265
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Jul 2020 17 15:50

Re: Geometria Plana - Área

Mensagem não lida por 314159265 »

Se você calcular a área do triângulo equilátero maior e substrair dela a área do círculo maior, vai achar um valor que é o somatório de 3 áreas iguais, certo? Então se você dividir por 3, vai achar o valor de uma dessas áreas. Vamos chamar esse valor de "x".

Aí agora você vai subtrair de "x" a área do triângulo equilátero menor, achando uma outra área "y" que é o somatório de 2 áreas iguais. Vamos dividir "y" por 2 para achar o valor "z". Guarde esse "z".

Tá vendo agora o triângulo equilátero menor? Se você subtrair da área dele a área do círculo menor, vai achar uma região que é o somatório de 3 áreas iguais, assim como feito anteriormente. Divida esse valor por 3 e ache a área "w".

Você concorda que se eu somar as áreas "z" e "w", vou encontrar a área da região pintada?

Coloquei um desenho em anexo pra facilitar a visualização.
Anexos
triangulooooooo.png
triangulooooooo.png (433.81 KiB) Exibido 1156 vezes
Última edição: 314159265 (Sex 17 Jul, 2020 15:55). Total de 1 vez.



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Tassandro
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Re: Geometria Plana - Área

Mensagem não lida por Tassandro »



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314159265
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Jul 2020 17 16:12

Re: Geometria Plana - Área

Mensagem não lida por 314159265 »

Tem outra forma de fazer também.

Conforme desenho em anexo, a área que você quer é:

Área pintada = Área do triângulo retângulo vermelho - Área do triângulo retângulo verde - Área do setor circular azul - Área do setor circular roxo.

Todos esses ângulos eu descobri sabendo que o ângulo interno do triângulo equilátero é 60° e que a altura dele é sua bissetriz, ou seja, divide o ângulo em 2 partes iguais. Se eu sei que é 90° no ponto de tangência e 30° lá em cima, logo o que sobrou é 60°.

Conseguiu entender?
Anexos
triangulo 2.png
triangulo 2.png (434.97 KiB) Exibido 1153 vezes




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