Ensino Médio ⇒ Recorrência linear de coeficientes variáveis Tópico resolvido

[undefinied3]

Eu não tenho nem certeza se dá pra colocar isso no ensino médio mas...

Alguém sabe resolver esse tipo de recorrência?

[tex3](n+1)A_{n}=(n-10)A_{n+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](n+1)A_{n}=(n-10)A_{n+1}[/tex3]

Mesmo depois de isolar os termos, os coeficientes ficam em função de n e eu não encontrei um jeito de transformar a recorrência em uma com coeficientes constantes. Procurei alguns métodos e na wikipédia tem um que fala para dividir por um produtório. Tentei desse jeito mas não consegui, porque não dá certo sair aplicando ideias que não se entende.
Eu sei que resolução de recorrências está intimamente ligado com resolução de equações diferenciais. O problema é que eu não cheguei a estudar equações diferenciais de coeficientes variáveis porque... ainda não ta na hora, não estou na faculdade. Por outro lado, parece que a recorrência ainda fica num meio termo que não dá pra usar totalmente as mesmas ferramentas que se usa pras equações diferenciais. Nesse caso, qual seria a saída?

O gabarito parece ser [tex3]A_n=\alpha*\prod_{i=0}^{10}(x-i)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_n=\alpha*\prod_{i=0}^{10}(x-i)[/tex3]

[undefinied3]

Escrevo essa mensagem para ter mais do que 20 caracteres.
Up!

[Auto Excluído (ID:12031)]

é a mesma ideia de soma telescópica mas para um produto
[tex3]\frac{A_{n+1}}{A_n} = \frac{n+1}{n-10}[/tex3]

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[tex3]\frac{A_{n+1}}{A_n} = \frac{n+1}{n-10}[/tex3]

faça o produto de [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

indo de [tex3]1[/tex3]

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[tex3]1[/tex3]

até [tex3]N[/tex3]

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[tex3]N[/tex3]

e deixe [tex3]A_1 =\alpha[/tex3]

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[tex3]A_1 =\alpha[/tex3]

arbitrário.
[tex3]\prod_{n=1}^N \frac{A_{n+1}}{A_n} = \frac{A_{N+1}}{A_1} = \frac{A_{N+1}}{\alpha} = \prod_{n=1}^N\frac{n+1}{n-10}[/tex3]

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[tex3]\prod_{n=1}^N \frac{A_{n+1}}{A_n} = \frac{A_{N+1}}{A_1} = \frac{A_{N+1}}{\alpha} = \prod_{n=1}^N\frac{n+1}{n-10}[/tex3]

repara que se [tex3]N =10[/tex3]

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[tex3]N =10[/tex3]

vai dar problema, um jeito de contornar é impor N<10 ou começar com n>10 e N>n
dai você trabalha aquele produto. Supondo N<10:
[tex3]A_{N+1} = \alpha \frac{(N+1)!(9-N)!}{(-1)^N9!}[/tex3]

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[tex3]A_{N+1} = \alpha \frac{(N+1)!(9-N)!}{(-1)^N9!}[/tex3]

ai pra encontrar [tex3]A_{m}[/tex3]

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[tex3]A_{m}[/tex3]

chame [tex3]N+1=m[/tex3]

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[tex3]N+1=m[/tex3]

. Note que o gabarito do problema que você apresentou considera que [tex3]A_n=0[/tex3]

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[tex3]A_n=0[/tex3]

pra todo [tex3]0<n<10[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0<n<10[/tex3]