Ensino Médio

A transformação a seguir é correta?

[tex3]\sen x+\cos x=0[/tex3]
[tex3]\sen x=-\cos x[/tex3] Elevo os dois lados ao quadrado
[tex3]\sen^2x=\cos^2x[/tex3]
[tex3]\sen^2x-\cos^2x=0[/tex3]
[tex3]2\sen^2x=1[/tex3]
[tex3]\sen x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

[tex3]S=\left\{x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},\,\,k\in Z\right\}[/tex3]

Não. Repare como x=45 não é solução, pois o seno e o coseno seriam positivos e a soma não daria zero. A resposta seria 135+kpi, pois assim um seria negativo e outro positivo.
Ao elevar ao quadrado você cria raízes que não são as mesmas da equação original. Pra resolver corretamente, basta fazer:

[tex3]sen(x)=-cos(x)[/tex3]
Mas [tex3]cos(x)=sen(\frac{\pi}{2}-x)[/tex3]
[tex3]sen(x)=-sen(\frac{\pi}{2}-x)[/tex3]
Como seno é uma função ímpar, [tex3]-sen(y)=sen(-y)[/tex3]
[tex3]sen(x)=sen(x-\frac{\pi}{2})[/tex3]
Segue que [tex3]x=\pi-(x-\frac{\pi}{2})+2k\pi[/tex3]
[tex3]\therefore x=\frac{3\pi}{4}+k\pi[/tex3]
Que é justamente 135+kpi.

Toda vez então que houver uma equação e eu elevar ao quadrado os dois lados será inválido pois haverá mais raízes que o resultado? Se sim, onde você aprendeu isso?

E como você fez naquela parte do [tex3]x=\pi-(x-\frac{\pi}{2})+2k\pi[/tex3] ?

Podia levar pro outro lado e:

[tex3]sen(x)-sen(x-\frac{\pi}{2})=0[/tex3]

: img00010.gif (1.4 KiB) Exibido 243 vezes

[tex3]2.sen(\frac{\pi }{4}).cos(x-\frac{\pi }{4})=0[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}.cos(x-\frac{\pi }{4})=0[/tex3]
[tex3]x=\frac{3\pi}{4}+k\pi[/tex3]

Não será inválido, mas você vai ter que voltar testando as soluções. Isso se aprende resolvendo muito exercício e depois que você percebe certas coisas relacionadas a módulo e polinômio. Um exemplo básico, se você tem [tex3]x=5[/tex3] , aqui você tem uma única solução x=5, mas se elevar ao quadrado: [tex3]x^2=25[/tex3] , que tem duas soluções pois é uma equação de segundo grau, mas a segunda não vai ser solução da equação original. Isso é porque você perde a relação de se e somente se ao elevar ao quadrado. Temos [tex3]x=5 \rightarrow x^2=25[/tex3] , mas não [tex3]x=5 \iff x^2=25[/tex3] .

A igualdade que eu fiz vem das maneira de solucionar trigonométricas, se há certa dúvida nisso, sugiro revisar, pois o que eu fiz é o básico e necessário pra resolver qualquer equação. Se [tex3]sen(x)=sen(y)[/tex3] , temos x=y ou x=pi-y; se [tex3]cos(x)=cos(y)[/tex3] , temos x=y ou x=-y. São consequências da simetra do ciclo.

Finalmente, sim, você pode usar Prostaferese (uma série de relações que incluem essa que você mostrou), mas é alongar um pouco a solução que podia ter sido terminada antes.

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