Olá wpsilva33, tudo bem?
Veja que está sendo pedido a soma dos cubos dos 25 primeiros números pares positivos.
Podemos reescrever a soma pedida como:
[tex3](2\cdot 1)^3 + (2\cdot 2)^3 + (2\cdot 3)^3 +...+ (2\cdot 24)^3 + (2\cdot 25)^3[/tex3]
[tex3]2^3\cdot 1^3 + 2^3\cdot 2^3 + 2^3\cdot 3^3 +...+ 2^3\cdot 24^3 + 2^3\cdot 25^3[/tex3]
Podemos colocar o [tex3]2^3[/tex3]
em evidência:
[tex3]2^3\cdot( 1^3 + 2^3 + 3^3 +...+ 24^3 + 25^3)[/tex3]
Agora temos, dentro dos parênteses, a soma dos cubos dos 25 primeiros números inteiros positivos. Fica mais fácil.
De acordo com esta
demonstração aqui, da
fórmula da soma dos cubos dos [tex3]n[/tex3] primeiros inteiros positivos, podemos usar a fórmula: [tex3]\boxed{1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = ( 1 + 2 + 3 + \ldots + n )^2}[/tex3]
e ficar com:
[tex3]2^3\cdot( 1 + 2 + 3 +...+ 24 + 25)^2[/tex3]
Nesse momento, dentro dos parênteses, temos a soma dos 25 primeiros termos de uma Progressão Aritmética, onde o primeiro termo é [tex3]a_1=1[/tex3]
, e a razão vale [tex3]r=1[/tex3]
.
Aplicando a fórmula da soma dos termos de uma P.A.:
[tex3]2^3\cdot\left[\frac{(1+25)\cdot 25}{2}\right]^2[/tex3]
[tex3]8\cdot\left[\frac{26\cdot 25}{2}\right]^2[/tex3]
[tex3]8\cdot\left(13\cdot 25\right)^2[/tex3]
[tex3]8\cdot 105625[/tex3]
[tex3]845000[/tex3]
Grande abraço,
Prof. Caju