Ensino MédioSoma dos Cubos Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
wpsilva33
Junior
Mensagens: 11
Registrado em: Ter 18 Abr, 2017 09:08
Última visita: 05-06-17
Localização: Brasilia
Jun 2017 04 14:50

Soma dos Cubos

Mensagem não lida por wpsilva33 »

Ache o valor da expressão:

a) [tex3]2^3 + 4^3 + 6^3 +...+ 48^3 + 50^3[/tex3]
Resposta

R: 84500

Última edição: wpsilva33 (Dom 04 Jun, 2017 14:50). Total de 4 vezes.



Avatar do usuário
caju
5 - Mestre
Mensagens: 2135
Registrado em: Qui 19 Out, 2006 15:03
Última visita: 27-03-24
Localização: Rio de Janeiro
Contato:
Jun 2017 05 09:58

Re: Soma dos Cubos

Mensagem não lida por caju »

Olá wpsilva33, tudo bem?

Veja que está sendo pedido a soma dos cubos dos 25 primeiros números pares positivos.

Podemos reescrever a soma pedida como:

[tex3](2\cdot 1)^3 + (2\cdot 2)^3 + (2\cdot 3)^3 +...+ (2\cdot 24)^3 + (2\cdot 25)^3[/tex3]

[tex3]2^3\cdot 1^3 + 2^3\cdot 2^3 + 2^3\cdot 3^3 +...+ 2^3\cdot 24^3 + 2^3\cdot 25^3[/tex3]

Podemos colocar o [tex3]2^3[/tex3] em evidência:

[tex3]2^3\cdot( 1^3 + 2^3 + 3^3 +...+ 24^3 + 25^3)[/tex3]

Agora temos, dentro dos parênteses, a soma dos cubos dos 25 primeiros números inteiros positivos. Fica mais fácil.

De acordo com esta demonstração aqui, da fórmula da soma dos cubos dos [tex3]n[/tex3] primeiros inteiros positivos, podemos usar a fórmula: [tex3]\boxed{1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = ( 1 + 2 + 3 + \ldots + n )^2}[/tex3] e ficar com:

[tex3]2^3\cdot( 1 + 2 + 3 +...+ 24 + 25)^2[/tex3]

Nesse momento, dentro dos parênteses, temos a soma dos 25 primeiros termos de uma Progressão Aritmética, onde o primeiro termo é [tex3]a_1=1[/tex3] , e a razão vale [tex3]r=1[/tex3] .

Aplicando a fórmula da soma dos termos de uma P.A.:

[tex3]2^3\cdot\left[\frac{(1+25)\cdot 25}{2}\right]^2[/tex3]

[tex3]8\cdot\left[\frac{26\cdot 25}{2}\right]^2[/tex3]

[tex3]8\cdot\left(13\cdot 25\right)^2[/tex3]

[tex3]8\cdot 105625[/tex3]

[tex3]845000[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

Última edição: caju (Seg 05 Jun, 2017 09:58). Total de 2 vezes.


"A beleza de ser um eterno aprendiz..."

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Ensino Médio”