Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória

[Xandinhuu]

Com os algarismos do conjunto {2,3,4,6,7,8,9} serão formados números pares de três algarismos distintos e maiores que 400. A quantidade de números assim formada é:

[tex3]a)45 \\
b)60 \\
c)85 \\
d) 90 \\
e)95[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a)45 \\
b)60 \\
c)85 \\
d) 90 \\
e)95[/tex3]

Eu tentei fazer fazendo a contagem dos casos em que o número termina em 2(5x5x1) e pode ter todos os maiores de 400, e um caso em que todos os pares ficam no final(2x5x4), , mas não deu o gabarito, devo ter feito algo errado ou algo deve estar faltando, me ajudem por favor

Resposta

---

C

[danjr5]

Olá Xande, bom dia!

p1 p2 p3

Separei a resolução em 4 casos, veja:

CASO I: fixar 2 na posição p3;

decisão 1: colocar o dígito 2 em p3;
decisão 2: escolher um dígito para a posição p1, diferente do escolhido em d1 (decisão 1) e maior ou igual a 4;
decisão 3: escolher um dígito para a posição p2, diferente dos escolhidos em d1 e d2.

Em d1 temos 1 possibilidade; em d2 temos 5 possibilidades e em d3 5. Então, pelo Princípio Fundamental da Contagem temos:

[tex3]\\ \mathsf{1 \cdot 5 \cdot 5 =} \\\\ \boxed{\mathsf{25}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\\ \mathsf{1 \cdot 5 \cdot 5 =} \\\\ \boxed{\mathsf{25}}[/tex3]

CASO II: fixar 4 na posição p3;

d1: colocar o dígito 4 em p3;
d2: escolher um dígito para p1, diferente do escolhido em d1 e maior ou igual a 4;
d3: escolher um dígito para p2, diferente dos escolhidos em d1 e d2.

Em d1 temos 1 possibilidade; em d2 temos 4 possibilidades e em d3 5 possibilidades. Então, pelo PFC, temos:

[tex3]\\ \mathsf{1 \cdot 4 \cdot 5 =} \\\\ \boxed{\mathsf{20}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\\ \mathsf{1 \cdot 4 \cdot 5 =} \\\\ \boxed{\mathsf{20}}[/tex3]

CASO III: fixar 6 na posição p3;

d1: colocar o dígito 6 em p3;
d2: escolher um dígito para p1, diferente do escolhido em d1 e maior ou igual a 4;
d3: escolher um dígito para p2, diferente dos escolhidos em d1 e d2.

Em d1 temos 1 possibilidade; em d2 4 possibilidades e em d3 5 possibilidades. Então, pelo PFC:

[tex3]\\ \mathsf{1 \cdot 4 \cdot 5 =} \\\\ \boxed{\mathsf{20}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\\ \mathsf{1 \cdot 4 \cdot 5 =} \\\\ \boxed{\mathsf{20}}[/tex3]

CASO IV: fixar 8 na posição p3;

d1: colocar o dígito 8 em p3;
d2: escolher um dígito para p1, diferente do escolhido em d1 e maior ou igual a 4;
d3: escolher um dígito para p2, diferente dos escolhidos em d1 e d2.

Em d1 temos 1 possibilidade; em d2 4 possibilidades e em d3 5 possibilidades. Pelo PFC:

[tex3]\\ \mathsf{1 \cdot 4 \cdot 5 =} \\\\ \boxed{\mathsf{20}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\\ \mathsf{1 \cdot 4 \cdot 5 =} \\\\ \boxed{\mathsf{20}}[/tex3]

Por fim, pelo princípio aditivo, temos que:

[tex3]\\ \mathsf{CASO \ I + CASO \ II + CASO \ III + CASO \ IV =} \\\\ \mathsf{25 + 20 + 20 + 20 =} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{85}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\\ \mathsf{CASO \ I + CASO \ II + CASO \ III + CASO \ IV =} \\\\ \mathsf{25 + 20 + 20 + 20 =} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{85}}}[/tex3]

[Marcos]

Olá Xandinhuu.Observe a solução:

[tex3]\underbrace{\boxed{4}} \ \ \underbrace{5}_{3,6,7,8,9} \ \ \underbrace{1}_{2}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\underbrace{\boxed{4}} \ \ \underbrace{5}_{3,6,7,8,9} \ \ \underbrace{1}_{2}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

[tex3]\underbrace{\boxed{4}} \ \ \underbrace{5}_{2,3,7,8,9} \ \ \underbrace{1}_{6}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\underbrace{\boxed{4}} \ \ \underbrace{5}_{2,3,7,8,9} \ \ \underbrace{1}_{6}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

[tex3]\underbrace{\boxed{4}} \ \ \underbrace{5}_{2,3,6,7,9} \ \ \underbrace{1}_{8}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\underbrace{\boxed{4}} \ \ \underbrace{5}_{2,3,6,7,9} \ \ \underbrace{1}_{8}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

[tex3]\underbrace{\boxed{6}} \ \ \underbrace{5}_{3,4,7,8,9} \ \ \underbrace{1}_{2}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\underbrace{\boxed{6}} \ \ \underbrace{5}_{3,4,7,8,9} \ \ \underbrace{1}_{2}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

[tex3]\underbrace{\boxed{6}} \ \ \underbrace{5}_{2,3,7,8,9} \ \ \underbrace{1}_{4}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\underbrace{\boxed{6}} \ \ \underbrace{5}_{2,3,7,8,9} \ \ \underbrace{1}_{4}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

[tex3]\underbrace{\boxed{6}} \ \ \underbrace{5}_{2,3,4,7,9} \ \ \underbrace{1}_{8}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\underbrace{\boxed{6}} \ \ \underbrace{5}_{2,3,4,7,9} \ \ \underbrace{1}_{8}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

[tex3]\underbrace{\boxed{7}} \ \ \underbrace{5}_{3,4,6,8,9} \ \ \underbrace{1}_{2}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\underbrace{\boxed{7}} \ \ \underbrace{5}_{3,4,6,8,9} \ \ \underbrace{1}_{2}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

[tex3]\underbrace{\boxed{7}} \ \ \underbrace{5}_{2,3,6,8,9} \ \ \underbrace{1}_{4}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\underbrace{\boxed{7}} \ \ \underbrace{5}_{2,3,6,8,9} \ \ \underbrace{1}_{4}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

[tex3]\underbrace{\boxed{7}} \ \ \underbrace{5}_{2,3,4,8,9} \ \ \underbrace{1}_{6}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\underbrace{\boxed{7}} \ \ \underbrace{5}_{2,3,4,8,9} \ \ \underbrace{1}_{6}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

[tex3]\underbrace{\boxed{7}} \ \ \underbrace{5}_{2,3,4,6,9} \ \ \underbrace{1}_{8}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\underbrace{\boxed{7}} \ \ \underbrace{5}_{2,3,4,6,9} \ \ \underbrace{1}_{8}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

[tex3]\underbrace{\boxed{8}} \ \ \underbrace{5}_{3,4,6,7,9} \ \ \underbrace{1}_{2}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\underbrace{\boxed{8}} \ \ \underbrace{5}_{3,4,6,7,9} \ \ \underbrace{1}_{2}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

[tex3]\underbrace{\boxed{8}} \ \ \underbrace{5}_{2,3,6,7,9} \ \ \underbrace{1}_{4}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\underbrace{\boxed{8}} \ \ \underbrace{5}_{2,3,6,7,9} \ \ \underbrace{1}_{4}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

[tex3]\underbrace{\boxed{8}} \ \ \underbrace{5}_{2,3,4,7,9} \ \ \underbrace{1}_{6}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\underbrace{\boxed{8}} \ \ \underbrace{5}_{2,3,4,7,9} \ \ \underbrace{1}_{6}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

[tex3]\underbrace{\boxed{9}} \ \ \underbrace{5}_{3,4,6,7,8} \ \ \underbrace{1}_{2}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\underbrace{\boxed{9}} \ \ \underbrace{5}_{3,4,6,7,8} \ \ \underbrace{1}_{2}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

[tex3]\underbrace{\boxed{9}} \ \ \underbrace{5}_{2,3,6,7,8} \ \ \underbrace{1}_{4}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\underbrace{\boxed{9}} \ \ \underbrace{5}_{2,3,6,7,8} \ \ \underbrace{1}_{4}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

[tex3]\underbrace{\boxed{9}} \ \ \underbrace{5}_{2,3,4,7,8} \ \ \underbrace{1}_{6}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\underbrace{\boxed{9}} \ \ \underbrace{5}_{2,3,4,7,8} \ \ \underbrace{1}_{6}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

[tex3]\underbrace{\boxed{9}} \ \ \underbrace{5}_{2,3,4,6,7} \ \ \underbrace{1}_{8}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\underbrace{\boxed{9}} \ \ \underbrace{5}_{2,3,4,6,7} \ \ \underbrace{1}_{8}\rightarrow 5 \ casos[/tex3]

No total, então, temos [tex3]5.3+5.3+5.4+5.3+5.4=\boxed{85}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5.3+5.3+5.4+5.3+5.4=\boxed{85}[/tex3]

casos.

[tex3]\blacktriangleright[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\blacktriangleright[/tex3]

O números pares de três algarismos distintos e maiores que [tex3]400[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]400[/tex3]

assim formado é [tex3]\boxed{\boxed{85}} \Longrightarrow Letra:(C)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\boxed{85}} \Longrightarrow Letra:(C)[/tex3]

Resposta: [tex3]C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C[/tex3]

.

[314159265]

_ _ _

A primeira vaga eu posso preencher com {4,6,7,8,9}
A segunda vaga eu posso preencher com {2,3,4,6,7,8,9}
A terceira vaga eu posso preencher com {2,4,6,8}

Se o primeiro for 4, o terceiro eu poderei escolher de 3 formas e o segundo 5 formas.

3 x 5 = 15

Se o primeiro for 6, o terceiro eu poderei escolher de 3 formas e o segundo 5 formas.

3 x 5 = 15

Se o primeiro for 7, o terceiro eu poderei escolher de 4 formas e o segundo 5 formas.

4 x 5 = 20

Se o primeiro for 8, o terceiro eu poderei escolher de 3 formas e o segundo 5 formas.

3 x 5 = 15

Se o primeiro for 9, o terceiro eu poderei escolher de 4 formas e o segundo 5 formas.

4 x 5 = 20

Somando tudo: 15 + 15 + 20 + 15 + 20 = 85

[Xandinhuu]

Muito obrigado pela ajuda e pelos diversos pontos de vista, boa tarde!