b) [tex3]5.[/tex3]
c) [tex3]3\sqrt{13}.[/tex3]
d) [tex3]\sqrt{13}.[/tex3]
e) [tex3]3\sqrt{2}.[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Geometria Plana Tópico resolvido
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Geometria Plana
Segundo a figura [tex3]CM = MD = 5[/tex3]
,[tex3]NB = 3\sqrt{13}[/tex3]
, [tex3]R = 13[/tex3]
. Calcule [tex3]MN.[/tex3]
a) [tex3]2\sqrt{13}.[/tex3]
b) [tex3]5.[/tex3]
c) [tex3]3\sqrt{13}.[/tex3]
d) [tex3]\sqrt{13}.[/tex3]
e) [tex3]3\sqrt{2}.[/tex3]
b) [tex3]5.[/tex3]
c) [tex3]3\sqrt{13}.[/tex3]
d) [tex3]\sqrt{13}.[/tex3]
e) [tex3]3\sqrt{2}.[/tex3]
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caju
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23:42
Re: Geometria Plana
Olá GuiBernardo,
Veja a figura redesenhada com os valores escritos e alguns segmentos auxiliares.
Vemos que os triângulos [tex3]ABC[/tex3]
e [tex3]OBN[/tex3]
são semelhantes por Ângulo-Ângulo-Ângulo. Sendo assim, já que [tex3]O[/tex3]
é o ponto médio de [tex3]AB[/tex3]
, podemos concluir que [tex3]N[/tex3]
é o ponto médio de [tex3]CB[/tex3]
.
Como, pelo enunciado, [tex3]M[/tex3] é ponto médio de [tex3]CD[/tex3] , e acabamos de deduzir que [tex3]N[/tex3] é ponto médio de [tex3]CB[/tex3] , podemos concluir que [tex3]MN[/tex3] é a base média do triângulo [tex3]CDB[/tex3] . Portanto, [tex3]DB[/tex3] vale [tex3]2x[/tex3] .
Veja que o triângulo [tex3]CDB[/tex3] é inscrito na circunferência de raio [tex3]13[/tex3] . Vamos, então, aplicar a lei dos senos no triângulo [tex3]CDB[/tex3] com respeito ao ângulo [tex3]B[/tex3] :
[tex3]\frac{10}{\sen(\hat B)}=2\cdot 13\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\sen(\hat B)=\frac{5}{13}}[/tex3] .
Pela identidade trigonométrica, [tex3]\sen^2(\hat B)+\cos^2(\hat B)=1[/tex3] , temos que [tex3]\boxed{\cos(\hat B)=\frac{12}{13}}[/tex3] .
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo [tex3]CDB[/tex3] com respeito ao ângulo [tex3]B[/tex3] , temos:
[tex3]10^2=(2x)^2+(6\sqrt{13})^2-2\cdot 2x\cdot 6\sqrt{13}\cdot\cos(\hat B)[/tex3]
[tex3]100=4x^2+468-24\sqrt{13}x\cdot\frac{12}{13}[/tex3]
Arrumando a expressão acima, chegamos em:
[tex3]13x^2-72\sqrt{13}x+1196=0[/tex3]
Resolvendo a equação acima, chegamos nas raízes: [tex3]\boxed{2\sqrt{13}}[/tex3] e [tex3]\boxed{\frac{46\sqrt{13}}{13}}[/tex3]
Note que [tex3]\frac{46\sqrt{13}}{13}[/tex3] é maior do que [tex3]3\sqrt{13}[/tex3] , o que é impossível no desenho, pois [tex3]3\sqrt{13}[/tex3] tem que ser o maior lado do triângulo [tex3]CNM[/tex3] .
Assim, chegamos à resposta A.
Grande abraço,
Prof. Caju
Veja a figura redesenhada com os valores escritos e alguns segmentos auxiliares.
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Como, pelo enunciado, [tex3]M[/tex3] é ponto médio de [tex3]CD[/tex3] , e acabamos de deduzir que [tex3]N[/tex3] é ponto médio de [tex3]CB[/tex3] , podemos concluir que [tex3]MN[/tex3] é a base média do triângulo [tex3]CDB[/tex3] . Portanto, [tex3]DB[/tex3] vale [tex3]2x[/tex3] .
Veja que o triângulo [tex3]CDB[/tex3] é inscrito na circunferência de raio [tex3]13[/tex3] . Vamos, então, aplicar a lei dos senos no triângulo [tex3]CDB[/tex3] com respeito ao ângulo [tex3]B[/tex3] :
[tex3]\frac{10}{\sen(\hat B)}=2\cdot 13\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\sen(\hat B)=\frac{5}{13}}[/tex3] .
Pela identidade trigonométrica, [tex3]\sen^2(\hat B)+\cos^2(\hat B)=1[/tex3] , temos que [tex3]\boxed{\cos(\hat B)=\frac{12}{13}}[/tex3] .
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo [tex3]CDB[/tex3] com respeito ao ângulo [tex3]B[/tex3] , temos:
[tex3]10^2=(2x)^2+(6\sqrt{13})^2-2\cdot 2x\cdot 6\sqrt{13}\cdot\cos(\hat B)[/tex3]
[tex3]100=4x^2+468-24\sqrt{13}x\cdot\frac{12}{13}[/tex3]
Arrumando a expressão acima, chegamos em:
[tex3]13x^2-72\sqrt{13}x+1196=0[/tex3]
Resolvendo a equação acima, chegamos nas raízes: [tex3]\boxed{2\sqrt{13}}[/tex3] e [tex3]\boxed{\frac{46\sqrt{13}}{13}}[/tex3]
Note que [tex3]\frac{46\sqrt{13}}{13}[/tex3] é maior do que [tex3]3\sqrt{13}[/tex3] , o que é impossível no desenho, pois [tex3]3\sqrt{13}[/tex3] tem que ser o maior lado do triângulo [tex3]CNM[/tex3] .
Assim, chegamos à resposta A.
Grande abraço,
Prof. Caju
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"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
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