Ensino Médio ⇒ Adição de Arcos - Segmento BD Tópico resolvido

[ismaelmat]

19.511-Determine a medida do segmento BD do triângulo retângulo ABC representado abaixo.

Gabarito:

Resposta

---

6(4 - [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

)/7

[VALDECIRTOZZI]

Temos que:
No [tex3]\Delta BAC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta BAC[/tex3]

:
[tex3]\sin \alpha=\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}[/tex3]

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[tex3]\sin \alpha=\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}[/tex3]

Logo:[tex3]\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1[/tex3]

[tex3]\left(\frac{1}{3}\right)^2+\cos^2 \alpha=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{1}{3}\right)^2+\cos^2 \alpha=1[/tex3]

[tex3]\cos^2 \alpha=1-\frac{1}{9}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos^2 \alpha=1-\frac{1}{9}[/tex3]

[tex3]\cos^2\alpha=\frac{8}{9}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos^2\alpha=\frac{8}{9}[/tex3]

[tex3]\cos \alpha=\frac{2\sqrt2}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos \alpha=\frac{2\sqrt2}{3}[/tex3]

[tex3]\theta=\alpha +45°[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\theta=\alpha +45°[/tex3]

[tex3]\sin \theta=\sin (\alpha+45°)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sin \theta=\sin (\alpha+45°)[/tex3]

[tex3]\frac{\overline{BA}}{\overline{BD}}=\sin\alpha \cdot \cos 45°+\sin45° \cdot \cos \alpha[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\overline{BA}}{\overline{BD}}=\sin\alpha \cdot \cos 45°+\sin45° \cdot \cos \alpha[/tex3]

[tex3]\frac{2}{\overline{BD}}=\sin \alpha \cdot \frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot \cos \alpha[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2}{\overline{BD}}=\sin \alpha \cdot \frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot \cos \alpha[/tex3]

[tex3]\frac{2}{\overline{BD}}=\frac{\sqrt 2}{2} \cdot \left(\sin \alpha+\cos \alpha \right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2}{\overline{BD}}=\frac{\sqrt 2}{2} \cdot \left(\sin \alpha+\cos \alpha \right)[/tex3]

[tex3]\frac{2}{\overline{BD}}=\frac{\sqrt2}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}+\frac{2\sqrt2}{3}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2}{\overline{BD}}=\frac{\sqrt2}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}+\frac{2\sqrt2}{3}\right)[/tex3]

[tex3]\frac{2}{\overline{BD}}=\frac{\sqrt2+4}{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2}{\overline{BD}}=\frac{\sqrt2+4}{6}[/tex3]

[tex3]\overline{BD}=\frac{12}{\sqrt2+4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{BD}=\frac{12}{\sqrt2+4}[/tex3]

[tex3]\overline{BD}=\frac{12}{\sqrt2+4} \cdot \frac{\sqrt2-4}{\sqrt2-4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{BD}=\frac{12}{\sqrt2+4} \cdot \frac{\sqrt2-4}{\sqrt2-4}[/tex3]

[tex3]\overline{BD}=\frac{12\sqrt2 -48}{2-16}=\frac{12\left(\sqrt2-4\right)}{-14}=\frac{-12 \left(+4-\sqrt2\right)}{-14}=\frac{6\left(4-\sqrt2\right)}{7}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{BD}=\frac{12\sqrt2 -48}{2-16}=\frac{12\left(\sqrt2-4\right)}{-14}=\frac{-12 \left(+4-\sqrt2\right)}{-14}=\frac{6\left(4-\sqrt2\right)}{7}[/tex3]

Espero ter ajudado!