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Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
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Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Médio ⇒ Progressão aritmética Tópico resolvido
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Jun 2017
01
23:40
Progressão aritmética
Por meio da soma dos termos de uma progressão aritmética, é possível determinar o valor de y na expressão a seguir. Qual é o valor de y?
[tex3]y=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+...+100^{3}[/tex3]
Resposta: [tex3]5050^{2}[/tex3]
[tex3]y=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+...+100^{3}[/tex3]
Resposta: [tex3]5050^{2}[/tex3]
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:18124) em 01 Jun 2017, 23:40, em um total de 1 vez.
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Jun 2017
02
00:56
Re: Progressão aritmética
Olá Odin, bom dia.
Primeiramente, lembremos que [tex3]1^{3}+2^{3}+3^3+4^3+...+n^3=(1 + 2 + . . . + n)^2[/tex3] . A soma 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n é a soma dos n primeiros termos de uma P.A, logo temos que:
[tex3]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1^{3}+2^{3}+3^3+4^3+...+n^3 =\frac{n^2\cdot (n+1)^2}{4} \ \ \ \ ....... \ \ \ \ (i)[/tex3].
Agora vamos a solução:
[tex3]y=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+...+100^{3}[/tex3] . Usando (i):
[tex3]y=\frac{100^2\cdot (100+1)^2}{4}[/tex3] . Usando a propriedade de potência [tex3]a^m\cdot b^m=(a\cdot b)^m[/tex3] , chegamos em:
[tex3]y=\frac{[100\cdot (100+1)]^2}{4}[/tex3]
[tex3]y=\frac{(10000+100)^2}{4}[/tex3]
[tex3]y=\frac{10100^2}{4}[/tex3]
[tex3]y=\frac{10100\cdot 10100}{4}[/tex3]
[tex3]y=\frac{10100}{2}\cdot \frac{10100}{2}[/tex3]
[tex3]y=5050\cdot 5050[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{y=5050^2}}[/tex3]
Edit: [tex3]\ \ \ \ \ \ y=\frac{10100^2}{4}[/tex3]
[tex3]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=\frac{10100}{2}\cdot \frac{10100}{2}[/tex3]
[tex3]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=5050\cdot 5050[/tex3]
Att>>rodBR.
Primeiramente, lembremos que [tex3]1^{3}+2^{3}+3^3+4^3+...+n^3=(1 + 2 + . . . + n)^2[/tex3] . A soma 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n é a soma dos n primeiros termos de uma P.A, logo temos que:
[tex3]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1^{3}+2^{3}+3^3+4^3+...+n^3 =\frac{n^2\cdot (n+1)^2}{4} \ \ \ \ ....... \ \ \ \ (i)[/tex3].
Agora vamos a solução:
[tex3]y=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+...+100^{3}[/tex3] . Usando (i):
[tex3]y=\frac{100^2\cdot (100+1)^2}{4}[/tex3] . Usando a propriedade de potência [tex3]a^m\cdot b^m=(a\cdot b)^m[/tex3] , chegamos em:
[tex3]y=\frac{[100\cdot (100+1)]^2}{4}[/tex3]
[tex3]y=\frac{(10000+100)^2}{4}[/tex3]
[tex3]y=\frac{10100^2}{4}[/tex3]
[tex3]y=\frac{10100\cdot 10100}{4}[/tex3]
[tex3]y=\frac{10100}{2}\cdot \frac{10100}{2}[/tex3]
[tex3]y=5050\cdot 5050[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{y=5050^2}}[/tex3]
Edit: [tex3]\ \ \ \ \ \ y=\frac{10100^2}{4}[/tex3]
[tex3]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=\frac{10100}{2}\cdot \frac{10100}{2}[/tex3]
[tex3]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=5050\cdot 5050[/tex3]
Att>>rodBR.
Editado pela última vez por rodBR em 02 Jun 2017, 00:56, em um total de 3 vezes.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
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Jun 2017
02
12:01
Re: Progressão aritmética
Olá robBR, como você fez essa dedução: [tex3]1^{3}+2^{3}+3^3+4^3+...+n^3=(1 + 2 + . . . + n)^2[/tex3]
Não seria Sendo i<j
?Não seria Sendo i<j
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:18124) em 02 Jun 2017, 12:01, em um total de 1 vez.
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Jun 2017
02
15:34
Re: Progressão aritmética
Olá Odin, boa tarde.
O resultado [tex3]1^{3}+2^{3}+3^3+4^3+...+n^3=(1 + 2 + . . . + n)^2[/tex3] é verdadeiro e pode ser provado por indução. Mas aqui vou utilizar um pouquinho de Álgebra Elementar e provar que [tex3]1^{3}+2^{3}+3^3+4^3+...+n^3=\frac{n^2\cdot (n+1)^2}{4}[/tex3] .
Inicialmente lembremos que:
[tex3](a-b)^4=a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4[/tex3] .
Prova:
Seja [tex3]S=1^{3}+2^{3}+3^3+4^3+...+n^3[/tex3] a soma dos cubos de 1 a n.
Para efeito, usaremos a identidade [tex3]n^4-(n-1)^4=n^4 -(n^4-4n^3\cdot 1+6n^2\cdot 1^2-4n\cdot 1^3+1^4)[/tex3] . Feito os cancelamentos teremos a seguinte identidade:
[tex3]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n^4-(n-1)^4= 4n^3-6n^2+4n-1 \ \ \ \ ...... \ \ \ \ (i)[/tex3]
Agora substitua, [tex3]n=1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ ... \ ,n[/tex3] na identidade [tex3](i)[/tex3] , disso obtemos:
1 [tex3]\rightarrow 1^4-(1-1)^4=4\cdot 1^3-6\cdot 1^2+4\cdot 1-1[/tex3]
2 [tex3]\rightarrow 2^4-(2-1)^4=4\cdot 2^3-6\cdot 2^2+4\cdot 2-1[/tex3]
3 [tex3]\rightarrow 3^4-(3-1)^4=4\cdot 3^3-6\cdot 3^2+4\cdot 3-1[/tex3]
4 [tex3]\rightarrow 4^4-(4-1)^4=4\cdot 4^3-6\cdot 4^2+4\cdot 4-1[/tex3]
5 [tex3]\rightarrow 5^4-(5-1)^4=4\cdot 5^3-6\cdot 5^2+4\cdot 5-1[/tex3]
................................................................
................................................................
................................................................
n [tex3]\rightarrow n^4-(n-1)^4=4\cdot n^3-6\cdot n^2+4\cdot n-1[/tex3]
Chegamos a :
1 [tex3]\rightarrow 1^4-0^4=4\cdot 1^3-6\cdot 1^2+4\cdot 1-1[/tex3]
2 [tex3]\rightarrow 2^4-1^4=4\cdot 2^3-6\cdot 2^2+4\cdot 2-1[/tex3]
3 [tex3]\rightarrow 3^4-2^4=4\cdot 3^3-6\cdot 3^2+4\cdot 3-1[/tex3]
4 [tex3]\rightarrow 4^4-3^4=4\cdot 4^3-6\cdot 4^2+4\cdot 4-1[/tex3]
5 [tex3]\rightarrow 5^4-4^4=4\cdot 5^3-6\cdot 5^2+4\cdot 5-1[/tex3]
................................................................
................................................................
................................................................
n [tex3]\rightarrow n^4-(n-1)^4=4\cdot n^3-6\cdot n^2+4\cdot n-1[/tex3] . Somando todas essas igualdades, no primeiro membro irá restar apenas [tex3]n^4-0^4[/tex3] , pois é uma soma telescópica, e no segundo membro coloque em evidência o 4 e o 6 nas respectivas parcelas:
[tex3]n^4-0^4=4\cdot (1^{3}+2^{3}+3^3+4^3+...+n^3) -6\cdot (1^{2}+2^{2}+3^2+4^2+...+n^2)+4\cdot (1+2+3+4+...+n)-(1+1+1+1+1+ ... +1)[/tex3]
Perceba que a soma dentro do primeiro parênteses é igual a S, a soma dentro do segundo parênteses é dada por [tex3]\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}[/tex3] , a soma dentro do terceiro parênteses é igual a soma dos n primeiros termos de uma P.A ([tex3]\frac{n\cdot (n+1)}{2}[/tex3] ) e no último parênteses o 1 está sendo somado n vezes, ou seja, [tex3]n\cdot 1=n[/tex3] . Logo o resultado acima fica condensado em:
[tex3]n^4=4\cdot S -6\cdot \frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}+4\cdot \frac{n\cdot (n+1)}{2}-n[/tex3] . Fazendo os cancelamentos:
[tex3]n^4=4\cdot S -n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)+2n\cdot (n+1)-n[/tex3]
[tex3]4\cdot S =n^4+n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)-2n\cdot (n+1)+n[/tex3] . Desenvolva os produtos:
[tex3]4\cdot S =n^4+2n^3+3n^2+n-2n^2-2n+n[/tex3] . Feita as subtrações, vem:
[tex3]4\cdot S =n^4+2n^3+n^2[/tex3] . Coloque [tex3]n^2[/tex3] em evidência:
[tex3]4\cdot S=n^2\cdot (n^2+2n+1)[/tex3] . Note que [tex3](n+1)^2=n^2+2n+1[/tex3] , disso resulta:
[tex3]4\cdot S=n^2\cdot (n+1)^2[/tex3] . Divida ambos os membros por 4:
[tex3]S=\frac{n^2\cdot (n+1)^2}{4}[/tex3] [tex3]∎[/tex3]
Ps: Aqui https://en.wikipedia.org/wiki/Cube_(algebra) vc também encontra uma demonstração.
Att>>rodBR.
O resultado [tex3]1^{3}+2^{3}+3^3+4^3+...+n^3=(1 + 2 + . . . + n)^2[/tex3] é verdadeiro e pode ser provado por indução. Mas aqui vou utilizar um pouquinho de Álgebra Elementar e provar que [tex3]1^{3}+2^{3}+3^3+4^3+...+n^3=\frac{n^2\cdot (n+1)^2}{4}[/tex3] .
Inicialmente lembremos que:
[tex3](a-b)^4=a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4[/tex3] .
Prova:
Seja [tex3]S=1^{3}+2^{3}+3^3+4^3+...+n^3[/tex3] a soma dos cubos de 1 a n.
Para efeito, usaremos a identidade [tex3]n^4-(n-1)^4=n^4 -(n^4-4n^3\cdot 1+6n^2\cdot 1^2-4n\cdot 1^3+1^4)[/tex3] . Feito os cancelamentos teremos a seguinte identidade:
[tex3]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n^4-(n-1)^4= 4n^3-6n^2+4n-1 \ \ \ \ ...... \ \ \ \ (i)[/tex3]
Agora substitua, [tex3]n=1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ ... \ ,n[/tex3] na identidade [tex3](i)[/tex3] , disso obtemos:
1 [tex3]\rightarrow 1^4-(1-1)^4=4\cdot 1^3-6\cdot 1^2+4\cdot 1-1[/tex3]
2 [tex3]\rightarrow 2^4-(2-1)^4=4\cdot 2^3-6\cdot 2^2+4\cdot 2-1[/tex3]
3 [tex3]\rightarrow 3^4-(3-1)^4=4\cdot 3^3-6\cdot 3^2+4\cdot 3-1[/tex3]
4 [tex3]\rightarrow 4^4-(4-1)^4=4\cdot 4^3-6\cdot 4^2+4\cdot 4-1[/tex3]
5 [tex3]\rightarrow 5^4-(5-1)^4=4\cdot 5^3-6\cdot 5^2+4\cdot 5-1[/tex3]
................................................................
................................................................
................................................................
n [tex3]\rightarrow n^4-(n-1)^4=4\cdot n^3-6\cdot n^2+4\cdot n-1[/tex3]
Chegamos a :
1 [tex3]\rightarrow 1^4-0^4=4\cdot 1^3-6\cdot 1^2+4\cdot 1-1[/tex3]
2 [tex3]\rightarrow 2^4-1^4=4\cdot 2^3-6\cdot 2^2+4\cdot 2-1[/tex3]
3 [tex3]\rightarrow 3^4-2^4=4\cdot 3^3-6\cdot 3^2+4\cdot 3-1[/tex3]
4 [tex3]\rightarrow 4^4-3^4=4\cdot 4^3-6\cdot 4^2+4\cdot 4-1[/tex3]
5 [tex3]\rightarrow 5^4-4^4=4\cdot 5^3-6\cdot 5^2+4\cdot 5-1[/tex3]
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n [tex3]\rightarrow n^4-(n-1)^4=4\cdot n^3-6\cdot n^2+4\cdot n-1[/tex3] . Somando todas essas igualdades, no primeiro membro irá restar apenas [tex3]n^4-0^4[/tex3] , pois é uma soma telescópica, e no segundo membro coloque em evidência o 4 e o 6 nas respectivas parcelas:
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Perceba que a soma dentro do primeiro parênteses é igual a S, a soma dentro do segundo parênteses é dada por [tex3]\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}[/tex3] , a soma dentro do terceiro parênteses é igual a soma dos n primeiros termos de uma P.A ([tex3]\frac{n\cdot (n+1)}{2}[/tex3] ) e no último parênteses o 1 está sendo somado n vezes, ou seja, [tex3]n\cdot 1=n[/tex3] . Logo o resultado acima fica condensado em:
[tex3]n^4=4\cdot S -6\cdot \frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}+4\cdot \frac{n\cdot (n+1)}{2}-n[/tex3] . Fazendo os cancelamentos:
[tex3]n^4=4\cdot S -n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)+2n\cdot (n+1)-n[/tex3]
[tex3]4\cdot S =n^4+n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)-2n\cdot (n+1)+n[/tex3] . Desenvolva os produtos:
[tex3]4\cdot S =n^4+2n^3+3n^2+n-2n^2-2n+n[/tex3] . Feita as subtrações, vem:
[tex3]4\cdot S =n^4+2n^3+n^2[/tex3] . Coloque [tex3]n^2[/tex3] em evidência:
[tex3]4\cdot S=n^2\cdot (n^2+2n+1)[/tex3] . Note que [tex3](n+1)^2=n^2+2n+1[/tex3] , disso resulta:
[tex3]4\cdot S=n^2\cdot (n+1)^2[/tex3] . Divida ambos os membros por 4:
[tex3]S=\frac{n^2\cdot (n+1)^2}{4}[/tex3] [tex3]∎[/tex3]
Ps: Aqui https://en.wikipedia.org/wiki/Cube_(algebra) vc também encontra uma demonstração.
Att>>rodBR.
Editado pela última vez por rodBR em 02 Jun 2017, 15:34, em um total de 2 vezes.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
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Jun 2017
02
15:47
Re: Progressão aritmética
Essa fórmula tem várias forma de ser deduzida. A que eu prefiro é a seguinte:
Considere [tex3]S(\gamma,n)=\sum_{k=1}^nk^{\gamma}[/tex3]
Então:
[tex3]S(\gamma,n)=a_{\gamma+1}n^{\gamma+1}+a_\gamma n^{\gamma}+\dots+a_1n+a_0[/tex3]
E monta-se o sistema
[tex3]S(\gamma,1)=a_{\gamma+1}+a_\gamma +\dots+a_1+a_0=1^\gamma\\
S(\gamma,2)=a_{\gamma+1}2^{\gamma+1}+a_\gamma 2^{\gamma}+\dots+2a_1+a_0=1^\gamma+2^\gamma\\
\vdots\\
S(\gamma,\gamma+1)=a_{\gamma+1}(\gamma+1)^{\gamma+1}+a_\gamma (\gamma+1)^{\gamma}+\dots+a_1(\gamma+1)+a_0[/tex3]
Onde se pode-se achar os respectivos coeficientes do polinômio que apresentei.
A generalização da ideia que mostrei é conhecida por polinômios de Faulhaber.
Outra forma que achei interessante de derivar essa fórmula é a seguinte:
Considere: [tex3]S(t,n)=(t+1)^{n+1}-1[/tex3]
Então [tex3]S(t,n)=\sum_{k=1}^{t}((k+1)^{n+1}-k^{n+1})=\sum_{k=0}^n{{n+1}\choose k}(1^k+2^k+3^k+\dots+t^k)[/tex3]
Considere [tex3]S(\gamma,n)=\sum_{k=1}^nk^{\gamma}[/tex3]
Então:
[tex3]S(\gamma,n)=a_{\gamma+1}n^{\gamma+1}+a_\gamma n^{\gamma}+\dots+a_1n+a_0[/tex3]
E monta-se o sistema
[tex3]S(\gamma,1)=a_{\gamma+1}+a_\gamma +\dots+a_1+a_0=1^\gamma\\
S(\gamma,2)=a_{\gamma+1}2^{\gamma+1}+a_\gamma 2^{\gamma}+\dots+2a_1+a_0=1^\gamma+2^\gamma\\
\vdots\\
S(\gamma,\gamma+1)=a_{\gamma+1}(\gamma+1)^{\gamma+1}+a_\gamma (\gamma+1)^{\gamma}+\dots+a_1(\gamma+1)+a_0[/tex3]
Onde se pode-se achar os respectivos coeficientes do polinômio que apresentei.
A generalização da ideia que mostrei é conhecida por polinômios de Faulhaber.
Outra forma que achei interessante de derivar essa fórmula é a seguinte:
Considere: [tex3]S(t,n)=(t+1)^{n+1}-1[/tex3]
Então [tex3]S(t,n)=\sum_{k=1}^{t}((k+1)^{n+1}-k^{n+1})=\sum_{k=0}^n{{n+1}\choose k}(1^k+2^k+3^k+\dots+t^k)[/tex3]
Editado pela última vez por Andre13000 em 02 Jun 2017, 15:47, em um total de 1 vez.
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Jun 2017
02
22:19
Re: Progressão aritmética
Só uma ressalva sobre o método que demonstrei; eu criei um problema quando presumi que a soma das potencias k dos n primeiros naturais é um polinomio de grau k+1. Se em algum concurso te pedirem para demonstrar essa fórmula e usar "meu" método, prove por indução que a expressão é verdade, pois nada garante que a sua que a condição que você supôs seja verdade. Uma das formas alternativas de demonstrar esse fato para um k qualquer é usando a conhecidade formula de Euler-Maclaurin
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Jun 2017
03
11:25
Re: Progressão aritmética
Uma rápida demonstração pela fórmula de Euler:
Considerando [tex3]f(x)=x^\phi[/tex3] , obtêm-se:
[tex3]\sum_{i=1}^n i^\phi=\int_1^n x^\phi dx+\frac{n^\phi+1^\phi}{2}+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{2k-1}(n)-f^{2k-1}(1)\right)+R[/tex3]
R é o termo de erro, definido por [tex3]R=(-1)^\infty\int_1^\infty \frac{f^{^\infty}(x)P_\infty(x)}{\infty!}dx[/tex3] (neste caso em especial), e como a função não é infinitamente diferenciável, temos que [tex3]R=0[/tex3] .
Também pode-se definir a enésima derivada da função da seguinte forma:
[tex3]f^n(x)=\frac{\phi!}{(\phi-n)!}x^{\phi-n}[/tex3]
Daí vem que
[tex3]f^{2k-1}(x)=\frac{\phi!}{(\phi-2k+1)!}x^{\phi-2k+1}[/tex3]
Substituindo na tudo na fórmula anterior e calculando a integral, temos:
[tex3]\sum_{i=1}^n i^\phi=\Big[\frac{x^{\phi+1}}{\phi+1}\Big]_1^n+\frac{n^\phi+1}{2}+\sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{(2k)!}\frac{\phi!}{(\phi-2k+1)!}\left(n^{\phi-2k+1}-1\right)\\
\sum_{i=1}^n i^\phi=\frac{n^{\phi+1}-1}{\phi+1}+\frac{n^\phi+1}{2}+\frac{B_2}{2}\phi\left(n^{\phi-1}-1\right)+\frac{B_4}{24}\phi(\phi-1)(\phi-2)\left(n^{\phi-3}-1\right)+\\
+\frac{B_6}{720}\phi(\phi-1)(\phi-2)(\phi-3)(\phi-4)\left(n^{\phi-5}-1\right)+\dots[/tex3]
É fácil ver então, que o polinômio que a gente supôs que existia sempre vai ser verdade.
Agora, seja [tex3]\phi=3[/tex3] . Todos os termos a partir de [tex3]B_2[/tex3] zeram. ([tex3]B_2=\frac{1}{6}[/tex3] )
[tex3]\sum_{i=1}^n i^3=\frac{n^{4}-1}{4}+\frac{n^3+1}{2}+\frac{\frac{1}{6}}{2}\cdot 3\left(n^{2}-1\right)\\
\sum_{i=1}^n i^3=\frac{n^4-1+2n^3+2+n^2-1}{4}=\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}=\boxed{\frac{n^2(n+1)^2}{4}}[/tex3]
Edit: os números B usados na demonstração são os números de Bernoulli.
Considerando [tex3]f(x)=x^\phi[/tex3] , obtêm-se:
[tex3]\sum_{i=1}^n i^\phi=\int_1^n x^\phi dx+\frac{n^\phi+1^\phi}{2}+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{2k-1}(n)-f^{2k-1}(1)\right)+R[/tex3]
R é o termo de erro, definido por [tex3]R=(-1)^\infty\int_1^\infty \frac{f^{^\infty}(x)P_\infty(x)}{\infty!}dx[/tex3] (neste caso em especial), e como a função não é infinitamente diferenciável, temos que [tex3]R=0[/tex3] .
Também pode-se definir a enésima derivada da função da seguinte forma:
[tex3]f^n(x)=\frac{\phi!}{(\phi-n)!}x^{\phi-n}[/tex3]
Daí vem que
[tex3]f^{2k-1}(x)=\frac{\phi!}{(\phi-2k+1)!}x^{\phi-2k+1}[/tex3]
Substituindo na tudo na fórmula anterior e calculando a integral, temos:
[tex3]\sum_{i=1}^n i^\phi=\Big[\frac{x^{\phi+1}}{\phi+1}\Big]_1^n+\frac{n^\phi+1}{2}+\sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{(2k)!}\frac{\phi!}{(\phi-2k+1)!}\left(n^{\phi-2k+1}-1\right)\\
\sum_{i=1}^n i^\phi=\frac{n^{\phi+1}-1}{\phi+1}+\frac{n^\phi+1}{2}+\frac{B_2}{2}\phi\left(n^{\phi-1}-1\right)+\frac{B_4}{24}\phi(\phi-1)(\phi-2)\left(n^{\phi-3}-1\right)+\\
+\frac{B_6}{720}\phi(\phi-1)(\phi-2)(\phi-3)(\phi-4)\left(n^{\phi-5}-1\right)+\dots[/tex3]
É fácil ver então, que o polinômio que a gente supôs que existia sempre vai ser verdade.
Agora, seja [tex3]\phi=3[/tex3] . Todos os termos a partir de [tex3]B_2[/tex3] zeram. ([tex3]B_2=\frac{1}{6}[/tex3] )
[tex3]\sum_{i=1}^n i^3=\frac{n^{4}-1}{4}+\frac{n^3+1}{2}+\frac{\frac{1}{6}}{2}\cdot 3\left(n^{2}-1\right)\\
\sum_{i=1}^n i^3=\frac{n^4-1+2n^3+2+n^2-1}{4}=\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}=\boxed{\frac{n^2(n+1)^2}{4}}[/tex3]
Edit: os números B usados na demonstração são os números de Bernoulli.
Editado pela última vez por Andre13000 em 03 Jun 2017, 11:25, em um total de 1 vez.
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Jun 2017
03
23:14
Re: Progressão aritmética
Rodbr, como chegou nessa fórmula na soma do segundo parêntese : [tex3]\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}[/tex3]
?
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:18124) em 03 Jun 2017, 23:14, em um total de 3 vezes.
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Jun 2017
04
10:50
Re: Progressão aritmética
Acho que ele contou com que você já soubesse o valor dessa soma. Você pode achar esse resultado montando o sistema que apresentei:
[tex3]S(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\
\begin{cases}
S(1)=1=a+b+c+d \\
S(2)=5=8a+4b+2c+d \\
S(3)=14=27a+9b+3c+d \\
S(4)=30=64a+16b+4c+d
\end{cases}[/tex3]
Ou alternativamente
[tex3]\sum_{i=1}^n i^2=\frac{n^{2+1}-1}{2+1}+\frac{n^2+1}{2}+\frac{\frac{1}{6}}{2}2\left(n^{2-1}-1\right)\\
\sum_{i=1}^n i^2=\frac{n^3-1}{3}+\frac{n^2+1}{2}+\frac{n-1}{6}=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}\\
\sum_{i=1}^n i^2=\frac{n(2n+1)(n+1)}{6}[/tex3]
Edit: agora lembrei que tem demonstração no fórum. http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_ma ... adrado.php
[tex3]S(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\
\begin{cases}
S(1)=1=a+b+c+d \\
S(2)=5=8a+4b+2c+d \\
S(3)=14=27a+9b+3c+d \\
S(4)=30=64a+16b+4c+d
\end{cases}[/tex3]
Ou alternativamente
[tex3]\sum_{i=1}^n i^2=\frac{n^{2+1}-1}{2+1}+\frac{n^2+1}{2}+\frac{\frac{1}{6}}{2}2\left(n^{2-1}-1\right)\\
\sum_{i=1}^n i^2=\frac{n^3-1}{3}+\frac{n^2+1}{2}+\frac{n-1}{6}=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}\\
\sum_{i=1}^n i^2=\frac{n(2n+1)(n+1)}{6}[/tex3]
Edit: agora lembrei que tem demonstração no fórum. http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_ma ... adrado.php
Editado pela última vez por Andre13000 em 04 Jun 2017, 10:50, em um total de 2 vezes.
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