Ensino MédioLogaritmos Tópico resolvido

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futuromilitar
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Logaritmos

Mensagem não lida por futuromilitar »

Resolver a equação [tex3]\frac{1}{2}\log_{3}(x-16)-\log_{3}(\sqrt{x}-4)=1[/tex3]

Última edição: futuromilitar (Qui 01 Jun, 2017 20:43). Total de 1 vez.


''Se você perdeu dinheiro, perdeu pouco. Se perdeu a honra, perdeu muito. Se perdeu a coragem, perdeu tudo.'' (Van Gogh)

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Re: Logaritmos

Mensagem não lida por futuromilitar »

A solução dá 25 ,mas não consigo encontrar esse valor.



''Se você perdeu dinheiro, perdeu pouco. Se perdeu a honra, perdeu muito. Se perdeu a coragem, perdeu tudo.'' (Van Gogh)

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rodBR
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Re: Logaritmos

Mensagem não lida por rodBR »

[tex3]\frac{1}{2}\log_{3}(x-16)-\log_{3}(\sqrt{x}-4)=1[/tex3]

Vamos utilizar as propriedades:
I) [tex3]\log_{a}b^{w}=w\cdot \log_{a}b[/tex3] tex3]
II) [tex3]\log_{a}\left(\frac{B}{C}\right)=\log_{a}B-\log_{a}C[/tex3]

Agora vamos a solução:
Inicialmente temos que a condição de existência é [tex3]x > 16[/tex3].
[tex3]\frac{1}{2}\log_{3}(x-16)-\log_{3}(\sqrt{x}-4)=1[/tex3] . Aplique a propriedade (I) no primeiro logaritmo:
[tex3]\log_{3}(x-16)^{\frac{1}{2}}-\log_{3} (\sqrt{x}-4)=1[/tex3]
[tex3]\log_{3} \sqrt{x-16}-\log_{3} (\sqrt{x}-4)=1[/tex3] . Aplique a propriedade (II):
[tex3]\log_{3} \left(\frac{\sqrt{x-16}}{\sqrt{x}-4}\right) =1[/tex3] . Aplique a definição de logaritmos:
[tex3]\frac{\sqrt{x-16}}{\sqrt{x}-4}=3^1[/tex3] . Rearrumando chegaremos a equação irracional a abaixo:
[tex3]\sqrt{x-16}=3\sqrt{x}-12[/tex3] ...... (i). Eleve ambos os membros ao quadrado:
[tex3](\sqrt{x-16})^2=(3\sqrt{x}-12)^2[/tex3] . Desenvolva e chegará em:
[tex3]x-16=9x-72\sqrt{x}+144[/tex3]
[tex3]-8x-160=-72\sqrt{x}[/tex3] . Dividindo ambos os membros por (-8):
[tex3]x+20=9\sqrt{x}[/tex3] . Eleve ambos os membros ao quadrado:
[tex3](x+20)^2=(9\sqrt{x})^2[/tex3] . desenvolva o produto notável.
[tex3]x^2+40x+400=81x[/tex3]
[tex3]x^2-41x+400=0[/tex3]

[tex3]\Delta=81[/tex3] [tex3]\rightarrow x_{1}=25 \ \ \ \ \ \therefore \ \ x_{2}=16[/tex3]

Ambas as raízes satisfazem a equação irracional (i), porém como a condição de existência é [tex3]x > 16[/tex3], então temos que a única solução que satisfaz é [tex3]x=25[/tex3] .

Portanto, o conjunto solução é S= {25}

Att>>rodBR.
Última edição: rodBR (Qui 01 Jun, 2017 23:12). Total de 1 vez.


"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".

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futuromilitar
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Re: Logaritmos

Mensagem não lida por futuromilitar »

Errei só um sinal :x


''Se você perdeu dinheiro, perdeu pouco. Se perdeu a honra, perdeu muito. Se perdeu a coragem, perdeu tudo.'' (Van Gogh)

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rodBR
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Re: Logaritmos

Mensagem não lida por rodBR »

De vez em quando também acontece comigo de esquecer alguma coisa ou acabar trocando sinais... :cry:



"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".

Responder
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