Ensino Médio ⇒ Logaritmos Tópico resolvido

[futuromilitar]

Resolver :

[tex3]\log_{2}(5x-2)-\log_{}x-\log_{2}(x+1)=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{2}(5x-2)-\log_{}x-\log_{2}(x+1)=2[/tex3]

[rodBR]

Olá Futuro Militar, vc tem certeza que as bases dos logaritmos estão todas corretas. Verifique se a base de [tex3]\log x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log x[/tex3]

, é realmente 10.

[futuromilitar]

No livro está assim, mas creio que esteja na base 2.

[rodBR]

Analisando a condição de existência para estes logaritmos é [tex3]x>1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x>1[/tex3]

.

[tex3]\log_{2}(5x-2)-\log_{2}x-\log_{2}(x+1)=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{2}(5x-2)-\log_{2}x-\log_{2}(x+1)=2[/tex3]

. Organizando a fim de aparecer as propriedades de log:
[tex3]\log_{2}(5x-2)-[\log_{2}x+\log_{2}(x+1)]=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{2}(5x-2)-[\log_{2}x+\log_{2}(x+1)]=2[/tex3]

. Lembrar que [tex3]\ \ \ \ \ \ \log_{a}b+\log_{a}c=\log_{a}(b\cdot c)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\ \ \ \ \ \ \log_{a}b+\log_{a}c=\log_{a}(b\cdot c)[/tex3]

:
[tex3]\log_{2}(5x-2)-\log_{2}[x\cdot (x-1)]=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{2}(5x-2)-\log_{2}[x\cdot (x-1)]=2[/tex3]

. Aqui aplique a propriedade da divisão de logarítmo [tex3]\ \ \ \log_{a}b-\log_{a}c=\log_{a}\left(\frac{b}{c}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\ \ \ \log_{a}b-\log_{a}c=\log_{a}\left(\frac{b}{c}\right)[/tex3]

:
[tex3]\log_{2}\left(\frac{5x-2}{x\cdot (x-1)}\right)=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{2}\left(\frac{5x-2}{x\cdot (x-1)}\right)=2[/tex3]

. Aplicando a definição de logaritmos, obtemos:
[tex3]\left(\frac{5x-2}{x\cdot (x-1)}\right)=2^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{5x-2}{x\cdot (x-1)}\right)=2^2[/tex3]

[tex3]\left(\frac{5x-2}{x\cdot (x-1)}\right)=4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{5x-2}{x\cdot (x-1)}\right)=4[/tex3]

. Multiplicando ambos os membros por [tex3]x\cdot (x-1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\cdot (x-1)[/tex3]

:
[tex3]5x-2=4\cdot x\cdot (x-1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5x-2=4\cdot x\cdot (x-1)[/tex3]

[tex3]5x-2=4x^2-4x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5x-2=4x^2-4x[/tex3]

[tex3]4x^2-9x+2=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4x^2-9x+2=0[/tex3]

[tex3]\Delta =49[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta =49[/tex3]

[tex3]\rightarrow x_{1}=2 \ \ \ \therefore \ \ x_{2}=\frac{1}{4} \ \ \ .... \ \ ( não \ satisfaz \ a \ condição \ de \ \ existência )[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow x_{1}=2 \ \ \ \therefore \ \ x_{2}=\frac{1}{4} \ \ \ .... \ \ ( não \ satisfaz \ a \ condição \ de \ \ existência )[/tex3]

Portanto, o conjunto solução da equação logarítmica acima é dado por: S= { 2 }

Att>>rodBR.