Ensino Médio

Determine [tex3]a[/tex3] , [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] inteiros e positivos tais que [tex3]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=6[/tex3]

parece conveniente mudar as variáveis: [tex3]x = b+c[/tex3] , [tex3]y = a+c[/tex3] e [tex3]z = a+b[/tex3]
[tex3]\frac1x + \frac1y + \frac1z = \frac{18}{x+y+z}[/tex3]
[tex3]\sigma_2 = \frac{18\sigma_3}{\sigma_1}[/tex3]
onde [tex3]\sigma_2 =xy+yz+xz[/tex3] [tex3]\sigma_1=x+y+z[/tex3] [tex3]\sigma_3 = xyz[/tex3]
[tex3]x,y,z[/tex3] raízes de
[tex3]t^3-\sigma_1t^2+\sigma_2t-\sigma_3[/tex3]

Nada ainda? Realmente não to conseguindo concluir nada :/

Eu acho que não tem solução nem nos reais positivos pra ser honesto.

Uma ideia que eu tive é a seguinte: a equação é homogênea, o que significa que se [tex3](a,b,c)[/tex3] é solução então [tex3](ka,kb,kc)[/tex3] é solução pra qualquer [tex3]k[/tex3] real diferente de zero.

Então suponha que exista uma solução inteira positiva cuja soma seja [tex3]s = a+b+c[/tex3] oras, então [tex3]1 = \frac{a}s +\frac{b}s +\frac{c}s[/tex3] vai nos dar uma nova solução de reais(racionais até no caso) positivos cuja soma seja 1.

sejam [tex3]a' = \frac a s[/tex3] e assim por diante.

[tex3]9 = \frac{1}{a'+b'} + \frac1{a'+c'} + \frac1{b'+c'}[/tex3]
substituindo [tex3]c' = 1 - a'-b'[/tex3]
[tex3]9 = \frac1{a'+b'} + \frac1{1-b'} + \frac1{1-a'}[/tex3]
se for encontrada uma solução com [tex3]a',b',c'[/tex3] racionais positivos o problema está resolvido.

Pedindo arrego pro wolframalpha (ou resolvendo esse baskara)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=9+ ... B1%2F(1-y)
percebe-se que [tex3]81x^4-18x^3-111x^2+20x+32[/tex3] deveria ser um racional elevado ao quadrado pra [tex3]x[/tex3] racional.

Não cheguei em lugar algum, fui dar uma pesquisada e vi uma carteada:

Fazendo:

[tex3]\begin{cases}
\frac{b}{a+c}=x \\
\frac{a}{b+c}=y \\
\frac{c}{a+b}+=z
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
x+y+z=6 \\
xy+xz+yz+2xyz=1
\end{cases}[/tex3]

Talvez ajude....

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