Eu acho que não tem solução nem nos reais positivos pra ser honesto.
Uma ideia que eu tive é a seguinte: a equação é homogênea, o que significa que se [tex3](a,b,c)[/tex3]
é solução então [tex3](ka,kb,kc)[/tex3]
é solução pra qualquer [tex3]k[/tex3]
real diferente de zero.
Então suponha que exista uma solução inteira positiva cuja soma seja [tex3]s = a+b+c[/tex3]
oras, então [tex3]1 = \frac{a}s +\frac{b}s +\frac{c}s[/tex3]
vai nos dar uma nova solução de reais(racionais até no caso) positivos cuja soma seja 1.
sejam [tex3]a' = \frac a s[/tex3]
e assim por diante.
[tex3]9 = \frac{1}{a'+b'} + \frac1{a'+c'} + \frac1{b'+c'}[/tex3]
substituindo [tex3]c' = 1 - a'-b'[/tex3]
[tex3]9 = \frac1{a'+b'} + \frac1{1-b'} + \frac1{1-a'}[/tex3]
se for encontrada uma solução com [tex3]a',b',c'[/tex3]
racionais positivos o problema está resolvido.
Pedindo arrego pro wolframalpha (ou resolvendo esse baskara)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=9+ ... B1%2F(1-y)
percebe-se que [tex3]81x^4-18x^3-111x^2+20x+32[/tex3]
deveria ser um racional elevado ao quadrado pra [tex3]x[/tex3]
racional.