Ensino Médio ⇒ Triângulo Medianas Tópico resolvido

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O triângulo ABC (figura) tem área igual a 36 cm2. Os pontos M e N são pontos médios dos lados AC e BC.

a.PNG (13.29 KiB) Exibido 4554 vezes

Assim, a área da região MPNC, em cm2, vale:

Resposta: 12

Alguém sabe resolver pela propriedade pela propriedade das medianas da reta maior valer o dobro do menor?

[VALDECIRTOZZI]

Inicialmente note que [tex3]MN // AB[/tex3]

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[tex3]MN // AB[/tex3]

, logo [tex3]\Delta ABC \sim \ \Delta MNC[/tex3]

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[tex3]\Delta ABC \sim \ \Delta MNC[/tex3]

.

Por semelhança de triângulos e chamando [tex3]\overline{BC}=2x[/tex3]

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[tex3]\overline{BC}=2x[/tex3]

:
[tex3]\frac{\overline{BC}}{\overline{NC}}=\frac{2x}{x}=2=k[/tex3]

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[tex3]\frac{\overline{BC}}{\overline{NC}}=\frac{2x}{x}=2=k[/tex3]

, em que [tex3]k[/tex3]

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[tex3]k[/tex3]

é a constante de proporcionalidade.
[tex3]k^2=\frac{A_{\Delta ABC}}{A_{\Delta MNC}}[/tex3]

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[tex3]k^2=\frac{A_{\Delta ABC}}{A_{\Delta MNC}}[/tex3]

[tex3]2^2=\frac{36}{A_{\Delta MNC}}[/tex3]

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[tex3]2^2=\frac{36}{A_{\Delta MNC}}[/tex3]

[tex3]A_{\Delta MNC}=9 \ cm^2[/tex3]

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[tex3]A_{\Delta MNC}=9 \ cm^2[/tex3]

Note agora que os [tex3]\Delta MNC \ e \ \Delta AMN[/tex3]

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[tex3]\Delta MNC \ e \ \Delta AMN[/tex3]

possuem as bases d emesmo comprimento e as mesmas alturas, logo:
[tex3]A_{\Delta MNC}=A_{\Delta AMN}=9 \ cm^2[/tex3]

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[tex3]A_{\Delta MNC}=A_{\Delta AMN}=9 \ cm^2[/tex3]

Olhando, agora para [tex3]\Delta AMN \ e \ \Delta MPN[/tex3]

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[tex3]\Delta AMN \ e \ \Delta MPN[/tex3]

:
a) Como [tex3]\overline {AN}[/tex3]

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[tex3]\overline {AN}[/tex3]

é mediana temos que [tex3]\overline{PN}=\frac{\overline {AN}}{3}[/tex3]

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[tex3]\overline{PN}=\frac{\overline {AN}}{3}[/tex3]

.
b) A altura de ambos triângulos é a mesma.
Portanto:
[tex3]A_{MPN}=\frac{A_{AMN}}{3}=\frac{9}{3}=3 \ cm^2[/tex3]

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[tex3]A_{MPN}=\frac{A_{AMN}}{3}=\frac{9}{3}=3 \ cm^2[/tex3]

Por fim:
[tex3]A_{MPNC}=A_{\Delta MNC}+A_{\Delta MPM}=9+3=12 \ cm^2[/tex3]

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[tex3]A_{MPNC}=A_{\Delta MNC}+A_{\Delta MPM}=9+3=12 \ cm^2[/tex3]

Espero ter ajudado!