Ensino MédioNoções de Lógica Tópico resolvido

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Autor do Tópico
Auto Excluído (ID:17906)
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Noções de Lógica

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17906) »

Demostre que para qualquer número inteiro [tex3]n[/tex3] , o número [tex3]11^{n + 2} + 12^{2n + 1}[/tex3] é divisível por [tex3]133[/tex3] .

Última edição: Auto Excluído (ID:17906) (Dom 28 Mai, 2017 10:26). Total de 1 vez.



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rodBR
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Re: Noções de Lógica

Mensagem não lida por rodBR »

Olá GuiBernardo, boa tarde.

No problema queremos mostrar que para qualquer [tex3]n \in Z[/tex3] o número [tex3]11^{n + 2}+12^{2n + 1}[/tex3] é divisível por 133, isto é, que o número deixa resto 0 ao ser dividido por 133.

Usando congruência módulo 133, temos:
[tex3]12^{2} ≡11 \ \ (mod \ 133)[/tex3] . Elevando a [tex3]n[/tex3] ambos os "lados" da congruência, teremos:
[tex3]12^{2n} ≡11^n \ \ (mod \ 133)[/tex3] . Multiplicando ambos os membros por 12:
[tex3]12^{2n}\cdot 12 ≡11^n\cdot 12 \ \ (mod \ 133)[/tex3]
[tex3]12^{2n+1} ≡11^n \cdot 12\ \ (mod \ 133)[/tex3] . Usando o fato de [tex3]12=133-121[/tex3] :
[tex3]12^{2n+1} ≡11^n \cdot (133-121)\ \ (mod \ 133)[/tex3]
[tex3]12^{2n+1} ≡11^n \cdot 133+11^n\cdot (-121)\ \ (mod \ 133)[/tex3] . Temos que [tex3]11^n \cdot 133 \ \ é \ cancelado[/tex3] :
[tex3]12^{2n+1} ≡11^n\cdot (-11^2)\ \ (mod \ 133)[/tex3]
[tex3]12^{2n+1} ≡-1\cdot (11^n\cdot 11^2)\ \ (mod \ 133)[/tex3]
[tex3]12^{2n+1} ≡- 11^{n+2} \ (mod \ 133)[/tex3]
[tex3]12^{2n+1} +11^{n+2} ≡0 \ (mod \ 133)[/tex3] .

Esta solução consta neste material: http://matematica.obmep.org.br/uploads/ ... uqbs40.pdf veja o problema 20.

Você também poderia ter usado somente divisibilidade e com algumas manipulações demonstraria o resultado acima.



Att>> rodBR.

Última edição: rodBR (Seg 29 Mai, 2017 13:31). Total de 2 vezes.


"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".

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