Provar que:
[tex3]\frac{\log_{a}c\cdot\log_{b}c}{(\log_{ab}c)^2}=\frac{(1+\log_{a}b)^2}{\log_{a}b}[/tex3]
, com [tex3]a \cdot b \neq 1[/tex3]
.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
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Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Médio ⇒ Logaritmos Tópico resolvido
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Logaritmos
Editado pela última vez por futuromilitar em 27 Mai 2017, 10:55, em um total de 1 vez.
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Mai 2017
27
19:05
Re: Logaritmos
Olá amigo. A solução detalhada foi desenvolvida logo abaixo.
Para provar que [tex3]\frac{log_{a}c\ .\ log_{b}c}{(log_{ab}c)^{2}} = \frac{(1 + log_{a}b)^{2}}{log_{a}b}[/tex3] , faça:
[tex3]x = log_{a}\ c[/tex3]
[tex3]y = log_{b}\ c[/tex3]
[tex3]z = log_{ab}\ c[/tex3]
Isolando [tex3]c[/tex3] temos
[tex3]c = a^{x}[/tex3] (1)
[tex3]c = b^{y}[/tex3] (2)
[tex3]c = (ab)^{z}[/tex3] (3)
Igualando (1) e (3), temos:
[tex3]a^{x} = (ab)^{z}[/tex3] -> Faça o logaritmo na base [tex3]a[/tex3] , nos dois lados:
[tex3]log_{a}\ a^{x} = log_{a} (ab)^{z}[/tex3]
[tex3]x = z(log_{a}ab)[/tex3]
[tex3]x = z(log_{a}\ a + log_{a}\ b)[/tex3]
[tex3]\frac{x}{z} = (log_{a}\ a + log_{a}\ b)[/tex3]
[tex3]\frac{x}{z} = (1 + log_{a}\ b)[/tex3] (4)
Igualando (2) e (3), temos:
[tex3]b^{y} = (ab)^{z}[/tex3] -> Faça o logaritmo na base [tex3]b[/tex3] , nos dois lados:
[tex3]log_{b}\ b^{y} = log_{b} (ab)^{z}[/tex3]
[tex3]y = z(log_{b}ab)[/tex3]
[tex3]y = z(log_{b}\ a + log_{b}\ b)[/tex3]
[tex3]\frac{y}{z} = (1 + log_{b}\ a)[/tex3] (5)
De (4), tem-se
[tex3]\frac{x}{z} = (1 + log_{a}\ b)[/tex3]
[tex3]\frac{log_{a}\ c}{ log_{ab}\ c} = (1 + log_{a}\ b)[/tex3] (6)
De (5), tem-se
[tex3]\frac{log_{b}\ c}{log_{ab}\ c} = (1 + log_{b}\ a)[/tex3] (7)
Voltando ao primeiro termo da equação inicial:
[tex3]\frac{log_{a}c\ .\ log_{b}c}{(log_{ab}c)^{2}} =\frac{log_{a}c\ .\ log_{b}c}{(log_{ab}c)(log_{ab}c)}[/tex3] (8)
Substituindo (6) e (7) em (8), temos
[tex3]\frac{log_{a}c\ .\ log_{b}c}{(log_{ab}c)(log_{ab}c)} = (1 + log_{a}\ b).(1 + log_{b}\ a)[/tex3] (9)
Igualando (1) e (2), temos:
[tex3]a^{x} = b^{y}[/tex3] -> Faça o [tex3]log_{b}[/tex3] , em ambos os termos
[tex3]log_{b}\ a^{x} = y[/tex3]
[tex3]x.log_{b}\ a = y[/tex3]
[tex3]\frac{x}{y} = log_{b}\ a[/tex3] (10)
Dividindo as equações (4) por (5), temos
[tex3]\frac{x}{y} = \frac{(1 + log_{b}\ a)}{(1 + log_{a}\ b)}[/tex3] (11)
Igualando (10) com (11), tem-se
[tex3]log_{b}\ a = \frac{(1 + log_{b}\ a)}{(1 + log_{a}\ b)}[/tex3] (12)
Desenvolvendo (12) e isolando [tex3]log_{b}\ a[/tex3] , temos
[tex3]log_{b}{a} = \frac{1}{log_{a}b}[/tex3] (13)
Substituindo (13) em (9), temos
[tex3](1 + log_{a}\ b).(1 + \frac{1}{log_{a}b})[/tex3]
[tex3]\frac{log_{a}\ b + log_{a}\ b \ . log_{a}\ b + 1 + log_{a}\ b}{log_{a}\ b}[/tex3]
[tex3]\frac{2log_{a}\ b + (log_{a}\ b)^{2} + 1}{log_{a}\ b}[/tex3]
Então:
[tex3]\frac{(1 + log_{a}\ b)^{2}}{log_{a}\ b}[/tex3]
Espero ter ajudado.
Para provar que [tex3]\frac{log_{a}c\ .\ log_{b}c}{(log_{ab}c)^{2}} = \frac{(1 + log_{a}b)^{2}}{log_{a}b}[/tex3] , faça:
[tex3]x = log_{a}\ c[/tex3]
[tex3]y = log_{b}\ c[/tex3]
[tex3]z = log_{ab}\ c[/tex3]
Isolando [tex3]c[/tex3] temos
[tex3]c = a^{x}[/tex3] (1)
[tex3]c = b^{y}[/tex3] (2)
[tex3]c = (ab)^{z}[/tex3] (3)
Igualando (1) e (3), temos:
[tex3]a^{x} = (ab)^{z}[/tex3] -> Faça o logaritmo na base [tex3]a[/tex3] , nos dois lados:
[tex3]log_{a}\ a^{x} = log_{a} (ab)^{z}[/tex3]
[tex3]x = z(log_{a}ab)[/tex3]
[tex3]x = z(log_{a}\ a + log_{a}\ b)[/tex3]
[tex3]\frac{x}{z} = (log_{a}\ a + log_{a}\ b)[/tex3]
[tex3]\frac{x}{z} = (1 + log_{a}\ b)[/tex3] (4)
Igualando (2) e (3), temos:
[tex3]b^{y} = (ab)^{z}[/tex3] -> Faça o logaritmo na base [tex3]b[/tex3] , nos dois lados:
[tex3]log_{b}\ b^{y} = log_{b} (ab)^{z}[/tex3]
[tex3]y = z(log_{b}ab)[/tex3]
[tex3]y = z(log_{b}\ a + log_{b}\ b)[/tex3]
[tex3]\frac{y}{z} = (1 + log_{b}\ a)[/tex3] (5)
De (4), tem-se
[tex3]\frac{x}{z} = (1 + log_{a}\ b)[/tex3]
[tex3]\frac{log_{a}\ c}{ log_{ab}\ c} = (1 + log_{a}\ b)[/tex3] (6)
De (5), tem-se
[tex3]\frac{log_{b}\ c}{log_{ab}\ c} = (1 + log_{b}\ a)[/tex3] (7)
Voltando ao primeiro termo da equação inicial:
[tex3]\frac{log_{a}c\ .\ log_{b}c}{(log_{ab}c)^{2}} =\frac{log_{a}c\ .\ log_{b}c}{(log_{ab}c)(log_{ab}c)}[/tex3] (8)
Substituindo (6) e (7) em (8), temos
[tex3]\frac{log_{a}c\ .\ log_{b}c}{(log_{ab}c)(log_{ab}c)} = (1 + log_{a}\ b).(1 + log_{b}\ a)[/tex3] (9)
Igualando (1) e (2), temos:
[tex3]a^{x} = b^{y}[/tex3] -> Faça o [tex3]log_{b}[/tex3] , em ambos os termos
[tex3]log_{b}\ a^{x} = y[/tex3]
[tex3]x.log_{b}\ a = y[/tex3]
[tex3]\frac{x}{y} = log_{b}\ a[/tex3] (10)
Dividindo as equações (4) por (5), temos
[tex3]\frac{x}{y} = \frac{(1 + log_{b}\ a)}{(1 + log_{a}\ b)}[/tex3] (11)
Igualando (10) com (11), tem-se
[tex3]log_{b}\ a = \frac{(1 + log_{b}\ a)}{(1 + log_{a}\ b)}[/tex3] (12)
Desenvolvendo (12) e isolando [tex3]log_{b}\ a[/tex3] , temos
[tex3]log_{b}{a} = \frac{1}{log_{a}b}[/tex3] (13)
Substituindo (13) em (9), temos
[tex3](1 + log_{a}\ b).(1 + \frac{1}{log_{a}b})[/tex3]
[tex3]\frac{log_{a}\ b + log_{a}\ b \ . log_{a}\ b + 1 + log_{a}\ b}{log_{a}\ b}[/tex3]
[tex3]\frac{2log_{a}\ b + (log_{a}\ b)^{2} + 1}{log_{a}\ b}[/tex3]
Então:
[tex3]\frac{(1 + log_{a}\ b)^{2}}{log_{a}\ b}[/tex3]
Espero ter ajudado.
Editado pela última vez por rippertoru em 27 Mai 2017, 19:05, em um total de 2 vezes.
Sem sacrifício não há vitória.
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