Ensino MédioEquação Trigonométrica - Maior Raiz Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Autor do Tópico
ismaelmat
Imperial
Mensagens: 531
Registrado em: Seg 11 Jul, 2016 11:04
Última visita: 29-01-24
Mai 2017 24 10:11

Equação Trigonométrica - Maior Raiz

Mensagem não lida por ismaelmat »

68.493-Qual é a maior raiz da equação:

Tg^2 x - (1 + [tex3]\sqrt{3}[/tex3] ). tg x + [tex3]\sqrt{3}[/tex3] = 0 no intervalo [0,2 [tex3]\pi[/tex3] [?

Gabarito:
Resposta

4 [tex3]\pi[/tex3] /3
Como se resolver, eu tentei por equação do 2º e não, por favor uma resolução bem explicada, aguardo e desculpe o incômodo! :D

Última edição: ismaelmat (Qua 24 Mai, 2017 10:11). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
olgario
2 - Nerd
Mensagens: 702
Registrado em: Sex 02 Nov, 2007 18:04
Última visita: 15-07-23
Mai 2017 29 01:46

Re: Equação Trigonométrica - Maior Raiz

Mensagem não lida por olgario »

Olá.

[tex3]tan^2(x)-(1+\sqrt{3})tan(x)+\sqrt{3}=0[/tex3]

Façamos uma substituição de variável, fazendo [tex3]tan(x)=z[/tex3] . Teremos então:
[tex3]z^2-(1+\sqrt{3})z+\sqrt{3}=0[/tex3]
[tex3]z=\frac{-[-(1+\sqrt{3})]\pm\sqrt{(1+\sqrt{3})^2-4.1.\sqrt{3}}}{2.1}[/tex3]
[tex3]z=\frac{(1+\sqrt{3})\pm\sqrt{(1+\sqrt{3})^2-4.\sqrt{3}}}{2}[/tex3]
[tex3]z=\frac{(1+\sqrt{3})\pm\sqrt{1^2+2(1.\sqrt{3})+(\sqrt{3})^2-4\sqrt{3}}}{2}[/tex3]
[tex3]z=\frac{(1+\sqrt{3})\pm\sqrt{1+2\sqrt{3}+\sqrt{3^2}-4\sqrt{3}}}{2}[/tex3]
[tex3]z=\frac{(1+\sqrt{3})\pm\sqrt{1+2\sqrt{3}+3-4\sqrt{3}}}{2}[/tex3]
[tex3]z=\frac{(1+\sqrt{3})\pm\sqrt{4+2\sqrt{3}-4\sqrt{3}}}{2}[/tex3]
[tex3]z=\frac{(1+\sqrt{3})\pm\sqrt{4+(2-4)\sqrt{3}}}{2}[/tex3]
[tex3]z=\frac{(1+\sqrt{3})\pm\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{2}\rightarrow \begin{cases} z_{1}=\frac{1+\sqrt{3}+(-1+\sqrt{3})}{2}\,\rightarrow\,\frac{\cancel1+\sqrt{3}\cancel-1+\sqrt{3}}{2}\,\rightarrow\,\frac{\cancel2\sqrt{3}}{\cancel 2}=\sqrt{3}\\
z_{2}=\frac{1+\sqrt{3}-(-1+\sqrt{3})}{2}\,\rightarrow\,\frac{1\cancel{+\sqrt{3}}+1\cancel{-\sqrt{3}}}{2}\,\rightarrow\,\frac{2}{2}=1\end{cases}[/tex3]

Ou factorando a equação dada:

[tex3]tan^2(x)-(1+\sqrt{3})tan(x)+\sqrt{3}=0[/tex3]

e aplicando a lei do anulamento do produto.

[tex3]-(\sqrt{3}-tan(x)).(tan(x)-1)=0[/tex3]
[tex3](-\sqrt{3}+tan(x)).(tan(x)-1)=0[/tex3]
[tex3]-\sqrt{3}+tan(x)=0\;\;\;\vee\;\;\;tan(x)-1=0[/tex3]
[tex3]tan(x)=\sqrt{3}\;\;\;\vee\;\;\;tan(x)=1[/tex3]
[tex3]tan(x)=\sqrt{3}\rightarrow\,x=60º\;\;\;\vee\;\;\;tan(x)=1\,\rightarrow\,x=45º[/tex3]

Repare que:
[tex3]\boxed{tan^2(x)-(1+\sqrt{3}).tan(x)+\sqrt{3}=0}[/tex3]
[tex3]\rightarrow\,-(\sqrt{3}-tang(x)).(tan(x)-1)=0[/tex3]
[tex3]\rightarrow\,-\sqrt{3}tan(x)+\sqrt{3}+tan^2(x)-tan(x)=0[/tex3]
[tex3]\rightarrow\,tan^2(x)-tan(x)-\sqrt{3}.tan(x)+\sqrt{3}=0[/tex3]
[tex3]\boxed{tan^2(x)-(1+\sqrt{3}).tan(x)+\sqrt{3}=0}[/tex3]

Considere a imagem.
Circulo  & tangente-01.jpg
Circulo & tangente-01.jpg (74.51 KiB) Exibido 904 vezes
[tex3]tan(180+\alpha)=tan\,\alpha[/tex3]
[tex3]tan(180º+45º)=tan\,225º\,\rightarrow\,tan\,225º=tan\,45º=1[/tex3]

[tex3]tan(180+\alpha)=tan\,\alpha[/tex3]
[tex3]tan(180º+60º)=tan\,240º\,\rightarrow\,tan\,240º=tan\,60º=\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]\frac{4\pi}{3}=\frac{4\times180º}{3}=\frac{720º}{3}=240º\;\,[/tex3] (3º quadrante)

[tex3]tan\,240º=tan\,\frac{4\pi}{3}=\sqrt{3}=1,732\,>1=tan\,45º[/tex3]

Portanto [tex3]\frac{4\pi}{3}\,[/tex3] radianos, é, das duas raízes encontradas, o ponto do circulo trigonométrico correspondente à maior raíz da equação [tex3]\;\;\;tan^2(x)-(1+\sqrt{3})tan(x)+\sqrt{3}\;\;[/tex3] no intervalo [tex3]\;\;[0,2\pi[[/tex3]

Espero ter ajudado.

Última edição: olgario (Seg 29 Mai, 2017 01:46). Total de 4 vezes.



Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Ensino Médio”