Olá.
[tex3]tan^2(x)-(1+\sqrt{3})tan(x)+\sqrt{3}=0[/tex3]
Façamos uma substituição de variável, fazendo [tex3]tan(x)=z[/tex3]
. Teremos então:
[tex3]z^2-(1+\sqrt{3})z+\sqrt{3}=0[/tex3]
[tex3]z=\frac{-[-(1+\sqrt{3})]\pm\sqrt{(1+\sqrt{3})^2-4.1.\sqrt{3}}}{2.1}[/tex3]
[tex3]z=\frac{(1+\sqrt{3})\pm\sqrt{(1+\sqrt{3})^2-4.\sqrt{3}}}{2}[/tex3]
[tex3]z=\frac{(1+\sqrt{3})\pm\sqrt{1^2+2(1.\sqrt{3})+(\sqrt{3})^2-4\sqrt{3}}}{2}[/tex3]
[tex3]z=\frac{(1+\sqrt{3})\pm\sqrt{1+2\sqrt{3}+\sqrt{3^2}-4\sqrt{3}}}{2}[/tex3]
[tex3]z=\frac{(1+\sqrt{3})\pm\sqrt{1+2\sqrt{3}+3-4\sqrt{3}}}{2}[/tex3]
[tex3]z=\frac{(1+\sqrt{3})\pm\sqrt{4+2\sqrt{3}-4\sqrt{3}}}{2}[/tex3]
[tex3]z=\frac{(1+\sqrt{3})\pm\sqrt{4+(2-4)\sqrt{3}}}{2}[/tex3]
[tex3]z=\frac{(1+\sqrt{3})\pm\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{2}\rightarrow \begin{cases} z_{1}=\frac{1+\sqrt{3}+(-1+\sqrt{3})}{2}\,\rightarrow\,\frac{\cancel1+\sqrt{3}\cancel-1+\sqrt{3}}{2}\,\rightarrow\,\frac{\cancel2\sqrt{3}}{\cancel 2}=\sqrt{3}\\
z_{2}=\frac{1+\sqrt{3}-(-1+\sqrt{3})}{2}\,\rightarrow\,\frac{1\cancel{+\sqrt{3}}+1\cancel{-\sqrt{3}}}{2}\,\rightarrow\,\frac{2}{2}=1\end{cases}[/tex3]
Ou factorando a equação dada:
[tex3]tan^2(x)-(1+\sqrt{3})tan(x)+\sqrt{3}=0[/tex3]
e aplicando a lei do anulamento do produto.
[tex3]-(\sqrt{3}-tan(x)).(tan(x)-1)=0[/tex3]
[tex3](-\sqrt{3}+tan(x)).(tan(x)-1)=0[/tex3]
[tex3]-\sqrt{3}+tan(x)=0\;\;\;\vee\;\;\;tan(x)-1=0[/tex3]
[tex3]tan(x)=\sqrt{3}\;\;\;\vee\;\;\;tan(x)=1[/tex3]
[tex3]tan(x)=\sqrt{3}\rightarrow\,x=60º\;\;\;\vee\;\;\;tan(x)=1\,\rightarrow\,x=45º[/tex3]
Repare que:
[tex3]\boxed{tan^2(x)-(1+\sqrt{3}).tan(x)+\sqrt{3}=0}[/tex3]
[tex3]\rightarrow\,-(\sqrt{3}-tang(x)).(tan(x)-1)=0[/tex3]
[tex3]\rightarrow\,-\sqrt{3}tan(x)+\sqrt{3}+tan^2(x)-tan(x)=0[/tex3]
[tex3]\rightarrow\,tan^2(x)-tan(x)-\sqrt{3}.tan(x)+\sqrt{3}=0[/tex3]
[tex3]\boxed{tan^2(x)-(1+\sqrt{3}).tan(x)+\sqrt{3}=0}[/tex3]
Considere a imagem.
- Circulo & tangente-01.jpg (74.51 KiB) Exibido 911 vezes
[tex3]tan(180+\alpha)=tan\,\alpha[/tex3]
[tex3]tan(180º+45º)=tan\,225º\,\rightarrow\,tan\,225º=tan\,45º=1[/tex3]
[tex3]tan(180+\alpha)=tan\,\alpha[/tex3]
[tex3]tan(180º+60º)=tan\,240º\,\rightarrow\,tan\,240º=tan\,60º=\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]\frac{4\pi}{3}=\frac{4\times180º}{3}=\frac{720º}{3}=240º\;\,[/tex3]
(3º quadrante)
[tex3]tan\,240º=tan\,\frac{4\pi}{3}=\sqrt{3}=1,732\,>1=tan\,45º[/tex3]
Portanto [tex3]\frac{4\pi}{3}\,[/tex3]
radianos, é, das duas raízes encontradas, o ponto do circulo trigonométrico correspondente à maior raíz da equação [tex3]\;\;\;tan^2(x)-(1+\sqrt{3})tan(x)+\sqrt{3}\;\;[/tex3]
no intervalo [tex3]\;\;[0,2\pi[[/tex3]
Espero ter ajudado.