Olá, boa tarde.
Porque quando estudamos Progressões Geométricas podemos somar os infinitos termos de uma P.G, mas com Progressão Aritmética isso não ocorre??
Não tem soma de infinitos termos de uma P.A?
Agradeço qualquer esclarecimento.
Ensino Médio ⇒ Somas de Progressão Aritmética Tópico resolvido
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Andre13000 
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Mai 2017
19
21:43
Re: Somas de Progressão Aritmética
O que dizemos é que enquanto que algumas progressões geométricas tem um limite, as aritméticas não tem. Imagine se você pudesse somar uma progressão aritmética qualquer. Em particular:
[tex3]a_n=a_1+(n-1)r\\
a_1=1\\
r=1\\
S=1+2+3+4+5+~...~+n=\sum_{k=1}^n k\\[/tex3]
O grande problema desse tipo de soma é que você não pode atribuir um valor à ela tendo a ideia de limite. Se você deixar n estourar para o infinito, isso não vai chegar em nada, e apenas aumentar. Por isso que existem diferentes tipos de técnicas de somar esse monstro aí. Talvez seu objetivo não seja saber o que acontece no final do caminho, mas apenas atribuir um valor matemático à essa soma, mas esse não é nosso objetivo. O que sabemos é que quando uma soma tem um limite, quer dizer que ela chega num certo ponto onde não passa mais daquilo, e só passa a refinar-se mais e mais a cada soma parcial.
Por outro lado observe a seguinte PG:
[tex3]S=1+x+x^2+x^3+x^4+~...~=\sum_{k=0}^{\infty}x^k[/tex3]
A pergunta é: como atribuir um valor a essa função? É fácil de ver que se o valor de x, ou seja, da razão dessa PG, for maior que um, perde-se o sentido, a soma simplesmente explode para o infinito, pois cada termo fica maior que o último, e existem infinitos termos. Repare no seguinte:
[tex3]S=\sum_{k=0}^{\infty}x^k=\frac{1}{1-x}~~~~\{0\leq x\leq 1\}[/tex3]
É admitido que essa soma converge para o intervalo que coloquei ali. Mas e se a gente quisesse saber o valor de
[tex3]1+2+4+8+16+~...=\sum_{k=0}^{\infty}2^k[/tex3]
Talvez a gente pudesse fazer alguma gambiarra aí ver o que dá colocando na fórmula ali. De fato:
[tex3]S=\frac{1}{1-2}=-1[/tex3] .
Que é no mínimo engraçado, mas o que fizemos aqui foi estabelecer um valor, uma identidade para essa soma, e não estamos mais concentrados em saber quanto ela dá. Na verdade, esse tipo de soma infinita tem aplicações muito importantes no mundo real e na área da física, por mais incrível que pareça. Não sou nenhum especialista nisso, mas acho tudo isso muito curioso, e lembre-se, curiosidade é a melhor coisa que o ser humano tem. Espero que você tenha pego a essência da coisa.
[tex3]a_n=a_1+(n-1)r\\
a_1=1\\
r=1\\
S=1+2+3+4+5+~...~+n=\sum_{k=1}^n k\\[/tex3]
O grande problema desse tipo de soma é que você não pode atribuir um valor à ela tendo a ideia de limite. Se você deixar n estourar para o infinito, isso não vai chegar em nada, e apenas aumentar. Por isso que existem diferentes tipos de técnicas de somar esse monstro aí. Talvez seu objetivo não seja saber o que acontece no final do caminho, mas apenas atribuir um valor matemático à essa soma, mas esse não é nosso objetivo. O que sabemos é que quando uma soma tem um limite, quer dizer que ela chega num certo ponto onde não passa mais daquilo, e só passa a refinar-se mais e mais a cada soma parcial.
Por outro lado observe a seguinte PG:
[tex3]S=1+x+x^2+x^3+x^4+~...~=\sum_{k=0}^{\infty}x^k[/tex3]
A pergunta é: como atribuir um valor a essa função? É fácil de ver que se o valor de x, ou seja, da razão dessa PG, for maior que um, perde-se o sentido, a soma simplesmente explode para o infinito, pois cada termo fica maior que o último, e existem infinitos termos. Repare no seguinte:
[tex3]S=\sum_{k=0}^{\infty}x^k=\frac{1}{1-x}~~~~\{0\leq x\leq 1\}[/tex3]
É admitido que essa soma converge para o intervalo que coloquei ali. Mas e se a gente quisesse saber o valor de
[tex3]1+2+4+8+16+~...=\sum_{k=0}^{\infty}2^k[/tex3]
Talvez a gente pudesse fazer alguma gambiarra aí ver o que dá colocando na fórmula ali. De fato:
[tex3]S=\frac{1}{1-2}=-1[/tex3] .
Que é no mínimo engraçado, mas o que fizemos aqui foi estabelecer um valor, uma identidade para essa soma, e não estamos mais concentrados em saber quanto ela dá. Na verdade, esse tipo de soma infinita tem aplicações muito importantes no mundo real e na área da física, por mais incrível que pareça. Não sou nenhum especialista nisso, mas acho tudo isso muito curioso, e lembre-se, curiosidade é a melhor coisa que o ser humano tem. Espero que você tenha pego a essência da coisa.
Última edição: Andre13000 (Sex 19 Mai, 2017 21:43). Total de 1 vez.
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Hanon 
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Mai 2017
19
22:46
Re: Somas de Progressão Aritmética
Se possível, podes responder essa questão relativa a conjuntos infinitos: "O conjunto dos pontos de um quadrado de lado 1 tem mais pontos que os conjuntos dos pontos de um segmento de comprimento 1? "
-
Auto Excluído (ID:12031)
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Mai 2017
21
00:40
Re: Somas de Progressão Aritmética
Não, tanto o segmento de reta de tamanho 1 (ou qualquer tamanho diferente de zero) quanto o quadrado de lado 1 (ou qualquer outro de lado não nulo) têm "a mesma quantidade infinita de pontos". Como assim?
Dizemos que dois conjuntos tem o mesmo tamanho (o nome rigoroso é cardinalidade) quando existe uma bijeção entre os elementos do conjunto. (Quando cada elemento do conjunto pode ser associado a um único elemento do outro conjunto). Faz muito sentido! Os conjuntos [tex3]\{1,2,3\}[/tex3] e [tex3]\{4,5,6\}[/tex3] tem o mesmo tamanho porque existe uma função bijetora, por exemplo esta:
[tex3]f\{1,2,3\} \rightarrow \{4,5,6\} f(x) = x+3[/tex3]
nos dois conjuntos. Agora olhe que interessante:
o intervalo [tex3](\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}2)[/tex3] tem o mesmo tamanho que a reta real inteira (que tem comprimento infinito!). Duvida?
[tex3]f: (\frac{-\pi}2, \frac{\pi}2) \rightarrow \mathbb{R}[/tex3] [tex3]f(x) = arctan(x)[/tex3] (função arco tangente de x) é uma bijeção, neste intervalo, que leva todo número real entre -pi/2 e pi/2 a outro número real qualquer. Logo existe a mesma quantidade de números reais em um intervalo qualquer da reta real e na reta inteira! Os infinitos neste caso têm o mesmo tamanho. Logo há tantos pontos na reta real quanto no segmento de reta. Qualquer segmento de reta tem o mesmo tamanho, por exemplo o segmento de lado um também tem o mesmo número de pontos que a reta real. Pois
tome a bijeção entre [tex3][\frac{-\pi}2;\frac{\pi}2] \rightarrow [0;1][/tex3] [tex3]f(x) = \frac{x}{\pi} + \frac12[/tex3] .
Portanto retas finitas e retas infinitas tem a mesma quantidade de pontos. Como mostrar que uma reta e um quadrado tem a mesma quantidade de pontos? Este vídeo explica: https://www.youtube.com/watch?v=8ySvREDwjcc&t=163s
A ideia central do vídeo é pegar um quadrado de lado unitário: [tex3](0,1)(0,1)[/tex3] pegar qualquer ponto dentro do quadrado e olhar pra suas coordenadas [tex3](x,y)[/tex3] em base decimal (como os x-s e y-s estão no intervalo (0,1) eles tem unidade 0) e criar um número real intercalando os dígitos dessas coordenadas por exemplo o ponto [tex3](0,5; 0,4)[/tex3] onde [tex3]x= 0,5; y=0,4[/tex3] corresponderia ao número real [tex3]0,54[/tex3] observe que essa operação leva os dois números reais a um único número real. (Nenhum outro conjunto (x,y) do quadrado pode levar ao número 0,54). Dai vem que temos uma bijeção entre o quadrado e a reta portanto os dois tem o mesmo número de pontos.
uma consequência interessante é que os números inteiros e os naturais tem o mesmo número de elementos e os naturais e os racionais também tem o mesmo tamanho. Ou seja: dá pra contar os números racionais. Isso já não é verdade para os números reais.
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Dom 21 Mai, 2017 00:40). Total de 6 vezes.
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Hanon
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Mai 2017
21
01:13
Re: Somas de Progressão Aritmética
Obrigado sousóeu. valeu mesmo! 
É interessante saber dessas estranhezas do infinito. 
É interessante saber dessas estranhezas do infinito.
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