Ensino MédioGeometria Espacial - Prismas

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Swot
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Geometria Espacial - Prismas

Mensagem não lida por Swot »

Determine a área lateral e o volume de um prisma reto de 25cm de altura, cuja base é um hexágono regular de apótema [tex3]4\sqrt{3}[/tex3] .

Gabarito:
Resposta

Área lateral: 1200cm²
Volume: [tex3]2400\sqrt{3}[/tex3] cm³

Última edição: Swot (Dom 14 Mai, 2017 14:19). Total de 1 vez.



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olgario
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Re: Geometria Espacial - Prismas

Mensagem não lida por olgario »

Olá, Swot

Considere a figura abaixo.
Hexágono triângulado-001.png
Hexágono triângulado-001.png (11.9 KiB) Exibido 3637 vezes
Sendo o hexágono regular, os lados e os ângulos entre eles são iguais.
Se unirmos por meio de um segmento de recta, cada um dos ângulos do hexágono com o seu oposto, passando pelo centro da circunferência na qual o hexágono está inscrito dividímo-lo deste modo em 6 triângulos equiláteros iguais. Estes, por serem equiláteros, têm lados e ângulos iguais sendo estes últimos todos de 60º.
Como podemos observar na figura, o apótema do hexágono será a altura de qualquer desses triângulos equiláteros, dividindo por sua vez cada um deles em 2 triângulos rectângulos, como podemos verificar especificamente no triângulo inferior da figura hexagonal.

Da trigonometria sabemos que: "a tangente é igual ao cateto oposto sobre o cateto adjacente", donde concluímos que:
[tex3]tan\,60^o=\frac{4\sqrt{3}}{b}[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{4\sqrt{3}}{b}[/tex3]
[tex3](b\times \sqrt{3})=(1\times 4\sqrt{3})[/tex3]
[tex3]b\sqrt{3}= 4\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]b=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}[/tex3]
[tex3]b=\frac{4\cancel{\sqrt{3}}}{\cancel{\sqrt{3}}}[/tex3]
[tex3]b=4\;cm.\;[/tex3] Base do triângulo rectângulo.
Donde, a base do triângulo equilátero será: [tex3]\,(4\times2)=8\;cm.[/tex3]
[tex3]A_{\triangle_{Equil.}}=\frac{b\times h}{2}[/tex3]
[tex3]A_{\triangle_{Equil.}}=\frac{8\times 4\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]A_{\triangle_{Equil.}}=\frac{32\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]A_{\triangle_{Equil.}}=16\sqrt{3}\;cm^2[/tex3]

Como o hexágono é composto por [tex3]6[/tex3] triângulos equiláteros, a sua área será dada por:
[tex3]6\times16\sqrt{3}=96\sqrt{3}\;cm^2[/tex3]
O volume do prisma será então:
[tex3]V=96\sqrt{3}\times 25=(96\times 25)\sqrt{3}=\boxed{V=2400\sqrt{3}\;cm^3}[/tex3]

Como as faces laterais do prisma são [tex3]\;6\,[/tex3] rectângulos com [tex3]\,8\:cm\,[/tex3] de base e [tex3]\,25\,cm\,[/tex3] de altura, a sua área lateral será dada por:
[tex3]Alt.=6(8\times 25)[/tex3]
[tex3]Alt.=6(200)[/tex3]
[tex3]\boxed{Alt.=1200\;cm^2}[/tex3]

Espero ter ajudado.

Última edição: olgario (Qua 17 Mai, 2017 01:37). Total de 2 vezes.



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