Ensino Médio ⇒ Progressão aritmética

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Se os números positivos a, b, c, nesta ordem, formam uma progressão aritmética, então [tex3]\frac{1}{b}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{b}[/tex3]

é a média harmônica entre [tex3]\frac{1}{a}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{a}[/tex3]

e [tex3]\frac{1}{c}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{c}[/tex3]

.

Por que isto é verdadeiro?

[Auto Excluído (ID:17092)]

A definição de média harmônica é:
[tex3]x_H = \frac{n}{\sum_{i = 1}^n\frac{1}{x_i}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... +\frac{1}{x_n}}[/tex3]

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[tex3]x_H = \frac{n}{\sum_{i = 1}^n\frac{1}{x_i}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... +\frac{1}{x_n}}[/tex3]

Com base no exposto, provaremos a propriedade da média harmônica em uma progressão aritmética:
[tex3]x_H = \frac{n}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}}[/tex3]

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[tex3]x_H = \frac{n}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}}[/tex3]

Como temos dois elementos (inverso de a e inverso de c), então n = 2:
[tex3]x_H = \frac{2}{\frac{1}{\frac{1}{a}}+\frac{1}{\frac{1}{c}}} \rightarrow x_H = \frac{2}{a+c}[/tex3]

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[tex3]x_H = \frac{2}{\frac{1}{\frac{1}{a}}+\frac{1}{\frac{1}{c}}} \rightarrow x_H = \frac{2}{a+c}[/tex3]

Para comprovar a propriedade, vamos explorar uma outra:
Se os números a, b, c, nesta ordem, formam uma progressão aritmética, então:
[tex3]b = \frac{a+c}{2}[/tex3]

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[tex3]b = \frac{a+c}{2}[/tex3]

Ora, tome que a = t - r, b = t e c = t + r:
[tex3]b = \frac{a+c}{2} = \frac{t-r+t+r}{2} = t[/tex3]

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[tex3]b = \frac{a+c}{2} = \frac{t-r+t+r}{2} = t[/tex3]

Com base nisso:
[tex3]x_H = \frac{2}{a+c} \rightarrow (x_H)^{-1} = (\frac{2}{a+c})^{-1} = \frac{1}{x_H} = \frac{a+c}{2}[/tex3]

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[tex3]x_H = \frac{2}{a+c} \rightarrow (x_H)^{-1} = (\frac{2}{a+c})^{-1} = \frac{1}{x_H} = \frac{a+c}{2}[/tex3]

Como:
[tex3]b = \frac{1}{x_H}= \frac{a+c}{2}[/tex3]

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[tex3]b = \frac{1}{x_H}= \frac{a+c}{2}[/tex3]

, então:
[tex3]\frac{1}{x_H} = b \rightarrow x_H = \frac{1}{b}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{x_H} = b \rightarrow x_H = \frac{1}{b}[/tex3]

Portanto, conseguimos comprovar que:
[tex3]\frac{1}{b} = \frac{2}{\frac{1}{\frac{1}{a}}+\frac{1}{\frac{1}{c}}}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{b} = \frac{2}{\frac{1}{\frac{1}{a}}+\frac{1}{\frac{1}{c}}}[/tex3]

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Veja que para resolver o problema foi necessário conhecer a média harmônica e alguma outra relação (uma progressão genérica ou a escrita de b como média aritmética).