Ensino Médio ⇒ (Vunesp 2013) Vértice da Parábola Tópico resolvido

[lecotrim]

Na figura, tem-se o gráfico de uma parábola. Os vértices do triângulo AVB estão sobre a parábola, sendo que os vértices A e B estão sobre o eixo das abscissas e o vértice V é o ponto máximo da parábola. A área do triângulo AVB, cujas medidas dos lados estão em centímetros, é, em centímetros quadrados, igual a

a) 8.
b) 9.
c) 12.
d) 14.
e) 16.

[VALDECIRTOZZI]

A função do 2º grau é dada pela expressão: [tex3]f(x)= ax^2+bx+c[/tex3]

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[tex3]f(x)= ax^2+bx+c[/tex3]

Como são dados 3 pontos da parábola, podemos escrever as seguintes equações:

[tex3]\begin{cases}
0=a \cdot (-1)^2+b \cdot (-1)+c \\
0=a \cdot 3^2+b \cdot 3+c \\
3=a\cdot 0+b \cdot 0+c
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
0=a \cdot (-1)^2+b \cdot (-1)+c \\
0=a \cdot 3^2+b \cdot 3+c \\
3=a\cdot 0+b \cdot 0+c
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
a-b+c=0 \\
9a+3b+c=0 \\
c=3
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
a-b+c=0 \\
9a+3b+c=0 \\
c=3
\end{cases}[/tex3]

Logo:
[tex3]\begin{cases}
a-b=-3 \\
9a+3b=-3
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
a-b=-3 \\
9a+3b=-3
\end{cases}[/tex3]

Resolvendo o sistema temos que [tex3]a=-1, \ b=2[/tex3]

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[tex3]a=-1, \ b=2[/tex3]

.
Logo a função de 2º grau fica:
[tex3]f(x)=-x^2+2x+3=0[/tex3]

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[tex3]f(x)=-x^2+2x+3=0[/tex3]

A altura do triângulo ABV é dada pelo ordenada do vértice da parábola, então:
[tex3]y_v=-\frac{\Delta }{4\cdot a}=-\frac{2^2-4 \cdot (-1) \cdot 3}{4 \cdot (-1)}=4[/tex3]

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[tex3]y_v=-\frac{\Delta }{4\cdot a}=-\frac{2^2-4 \cdot (-1) \cdot 3}{4 \cdot (-1)}=4[/tex3]

A base do triângulo ABV é dada pelas distâncias entre as raízes: [tex3]\left|3-(-1)\right|=4[/tex3]

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[tex3]\left|3-(-1)\right|=4[/tex3]

Por fim:
[tex3]A_{\Delta ABV}=\frac{4 \cdot 4}{2}=8[/tex3]

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[tex3]A_{\Delta ABV}=\frac{4 \cdot 4}{2}=8[/tex3]

Espero ter ajudado!

[jomatlove]

Outra resolução:
Usamos a forma fatorada de uma função quadrática:[tex3]f(x)=ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})[/tex3]

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[tex3]f(x)=ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})[/tex3]

.
Da figura,tiramos:[tex3]x_{1}=-1,x_{2}=3\rightarrow f(x)=a(x+1)(x-3)[/tex3]

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[tex3]x_{1}=-1,x_{2}=3\rightarrow f(x)=a(x+1)(x-3)[/tex3]

Como [tex3](0,3)\in f(x)\rightarrow 3=a(0+1)(0-3)\rightarrow a=-1[/tex3]

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[tex3](0,3)\in f(x)\rightarrow 3=a(0+1)(0-3)\rightarrow a=-1[/tex3]

Portanto:
[tex3]f(x)=-(x+1)(x-3)=-x^{2}+2x+3[/tex3]

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[tex3]f(x)=-(x+1)(x-3)=-x^{2}+2x+3[/tex3]

[tex3]y_{v}=4=h[/tex3]

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[tex3]y_{v}=4=h[/tex3]

do triangulo AVB
Calculo da area pedida:
[tex3]S=\frac{AB.h}{2}=\frac{4.4}{2}=8[/tex3]

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[tex3]S=\frac{AB.h}{2}=\frac{4.4}{2}=8[/tex3]

[lecotrim]

Muito obrigada pelas resoluções !!!!