O terceiro, o sétimo e o décimo primeiro termo de uma P.G. crescente valem 1+x², 4x+2 e 20, respectivamente. A razão dessa P.G. é:
a) 1/2
b) 2
c) 4√2
d) √2
e) 6√2
Ensino Médio ⇒ Progressão Geométrica Tópico resolvido
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Vestibinha 
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Mai 2017
02
17:30
Progressão Geométrica
Última edição: Vestibinha (Ter 02 Mai, 2017 17:30). Total de 2 vezes.
Mai 2017
02
19:18
Re: Progressão Geométrica
Olá Vestibinha, boa noite.
Podemos expressar um termo de uma P.G em função de um outro termo. Utilizando este fato nos termos dados:
[tex3]a_{3}=1+x^2[/tex3]
[tex3]a_{7}=4x+2[/tex3]
[tex3]a_{11}=20[/tex3]
[tex3]a_{7}[/tex3] :
[tex3]a_{7}=a_{3}\cdot q^{4}[/tex3]
[tex3]4x+2=(1+x^2)\cdot q^{4}[/tex3] . Eleve ambos os membros ao quadrado e desenvolva o produto notável:
[tex3](4x+2)^2=[(1+x^2)\cdot q^{4}]^2[/tex3]
[tex3]16x^2+16x+4=(1+x^2)\cdot (1+x^2)\cdot q^8[/tex3] (I)
[tex3]a_{11}[/tex3] :
[tex3]a_{11}=a_{7}\cdot q^{4}[/tex3]
[tex3]20=(1+x^2)\cdot q^4\cdot q^4[/tex3]
[tex3](1+x^2)\cdot q^8=20[/tex3] (II)
De (I) teremos:
[tex3]16x^2+16x+4=(1+x^2)\cdot (1+x^2)\cdot q^8[/tex3] . Substitua (II):
[tex3]16x^2+16x+4=(1+x^2)\cdot 20[/tex3]
[tex3]16x^2+16x+4=20+20x^2[/tex3]
[tex3]-4x^2+16x-16=0[/tex3] . Divida por -4:
[tex3]x^2-4x+4=0[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
\Delta =0 \ \ \rightarrow \ x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2a}\\
x_{1}=x_{2}=2
\end{cases}[/tex3]
Agora substitua o valor de x em [tex3]a_{3} \ \ e \ \ \ a_{7}:[/tex3]
[tex3]a_{3}=1+x^2[/tex3]
[tex3]a_{3}=1+2^2 \ \ \ \rightarrow \ \ a_{3}=5[/tex3]
[tex3]a_{7}=4x+2[/tex3]
[tex3]a_{7}=4\cdot 2+2\ \ \ \rightarrow \ \ a_{7}=10[/tex3] .
Finalmente, utilize:
[tex3]a_{7}=a_{3}\cdot q^4[/tex3]
[tex3]10=5\cdot q^4[/tex3]
[tex3]q^4=2 \ \ \ \rightarrow \ \ q=\sqrt[4]{2} \ \ \ \therefore \ \ \ [resposta \ \ letra \ \ c][/tex3]
Att>>rodBR.
Podemos expressar um termo de uma P.G em função de um outro termo. Utilizando este fato nos termos dados:
[tex3]a_{3}=1+x^2[/tex3]
[tex3]a_{7}=4x+2[/tex3]
[tex3]a_{11}=20[/tex3]
[tex3]a_{7}[/tex3] :
[tex3]a_{7}=a_{3}\cdot q^{4}[/tex3]
[tex3]4x+2=(1+x^2)\cdot q^{4}[/tex3] . Eleve ambos os membros ao quadrado e desenvolva o produto notável:
[tex3](4x+2)^2=[(1+x^2)\cdot q^{4}]^2[/tex3]
[tex3]16x^2+16x+4=(1+x^2)\cdot (1+x^2)\cdot q^8[/tex3] (I)
[tex3]a_{11}[/tex3] :
[tex3]a_{11}=a_{7}\cdot q^{4}[/tex3]
[tex3]20=(1+x^2)\cdot q^4\cdot q^4[/tex3]
[tex3](1+x^2)\cdot q^8=20[/tex3] (II)
De (I) teremos:
[tex3]16x^2+16x+4=(1+x^2)\cdot (1+x^2)\cdot q^8[/tex3] . Substitua (II):
[tex3]16x^2+16x+4=(1+x^2)\cdot 20[/tex3]
[tex3]16x^2+16x+4=20+20x^2[/tex3]
[tex3]-4x^2+16x-16=0[/tex3] . Divida por -4:
[tex3]x^2-4x+4=0[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
\Delta =0 \ \ \rightarrow \ x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2a}\\
x_{1}=x_{2}=2
\end{cases}[/tex3]
Agora substitua o valor de x em [tex3]a_{3} \ \ e \ \ \ a_{7}:[/tex3]
[tex3]a_{3}=1+x^2[/tex3]
[tex3]a_{3}=1+2^2 \ \ \ \rightarrow \ \ a_{3}=5[/tex3]
[tex3]a_{7}=4x+2[/tex3]
[tex3]a_{7}=4\cdot 2+2\ \ \ \rightarrow \ \ a_{7}=10[/tex3] .
Finalmente, utilize:
[tex3]a_{7}=a_{3}\cdot q^4[/tex3]
[tex3]10=5\cdot q^4[/tex3]
[tex3]q^4=2 \ \ \ \rightarrow \ \ q=\sqrt[4]{2} \ \ \ \therefore \ \ \ [resposta \ \ letra \ \ c][/tex3]
Att>>rodBR.
Última edição: rodBR (Ter 02 Mai, 2017 19:18). Total de 2 vezes.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
-
Vestibinha
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Mai 2017
03
06:55
Re: P.G.
Obrigada, eu estava tentando resolver por sistema e tava dando tudo errado, nem pensei em fazer assim. Obrigada msm 
-
jomatlove 
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Mai 2017
03
09:12
Re: P.G.
Outra resolução:
No estudo de uma PG,é muito importante conhecer a seguinte propriedade:em toda PG,o termo central é igual a média geométrica dos termos equidistantes do termo central( que estão à mesma distância do termo central).
Exemplos:
1)PG(2,4,8,18,32).
termo central:[tex3]a_{3}=8[/tex3] ,então:[tex3]a_{3}=\sqrt{a_{1}.a_{5}}=\sqrt{2.32}=\sqrt{64}=8[/tex3]
Também:[tex3]a_{3}=\sqrt{a_{2}.a_{4}}=\sqrt{4.18}=\sqrt{64}=8[/tex3]
Voltando à questão,temos:
[tex3]a_{3}=1+x^{2}[/tex3]
[tex3]a_{7}=4x+2[/tex3]
[tex3]a_{11}=20[/tex3]
Observamos que 11-7=7-3=4,então:
[tex3]a_{7}=\sqrt{a_{3}.a_{11}}[/tex3]
[tex3]a_{7}^{2}=a_{3}.a_{11}[/tex3]
[tex3](4x+2)^{2}=20(x^{2}+1)[/tex3]
[tex3]x^{2}-4x+4=0[/tex3]
[tex3](x-2)^{2}=0\rightarrow x=2[/tex3]
Os termos são:
[tex3]a_{3}=5,a_{7}=10,a_{11}=20[/tex3]
Calculo da razão:
[tex3]a_{7}=a_{3}.q^{4}[/tex3]
[tex3]10=5.q^{4}[/tex3]
[tex3]q^{4}=2\rightarrow q=\sqrt[4]{2}[/tex3]
No estudo de uma PG,é muito importante conhecer a seguinte propriedade:em toda PG,o termo central é igual a média geométrica dos termos equidistantes do termo central( que estão à mesma distância do termo central).
Exemplos:
1)PG(2,4,8,18,32).
termo central:[tex3]a_{3}=8[/tex3] ,então:[tex3]a_{3}=\sqrt{a_{1}.a_{5}}=\sqrt{2.32}=\sqrt{64}=8[/tex3]
Também:[tex3]a_{3}=\sqrt{a_{2}.a_{4}}=\sqrt{4.18}=\sqrt{64}=8[/tex3]
Voltando à questão,temos:
[tex3]a_{3}=1+x^{2}[/tex3]
[tex3]a_{7}=4x+2[/tex3]
[tex3]a_{11}=20[/tex3]
Observamos que 11-7=7-3=4,então:
[tex3]a_{7}=\sqrt{a_{3}.a_{11}}[/tex3]
[tex3]a_{7}^{2}=a_{3}.a_{11}[/tex3]
[tex3](4x+2)^{2}=20(x^{2}+1)[/tex3]
[tex3]x^{2}-4x+4=0[/tex3]
[tex3](x-2)^{2}=0\rightarrow x=2[/tex3]
Os termos são:
[tex3]a_{3}=5,a_{7}=10,a_{11}=20[/tex3]
Calculo da razão:
[tex3]a_{7}=a_{3}.q^{4}[/tex3]
[tex3]10=5.q^{4}[/tex3]
[tex3]q^{4}=2\rightarrow q=\sqrt[4]{2}[/tex3]
Última edição: jomatlove (Qua 03 Mai, 2017 09:12). Total de 1 vez.
Imagination is more important than
knowledge(Albert Einstein)
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