Ensino Médio ⇒ Função Composta - Noções de Matemática Vol 1/PAG 283 Tópico resolvido

[lflusao]

[tex3]f(x)=\sqrt{x^{2}-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=\sqrt{x^{2}-1}[/tex3]

e [tex3]g(x)=\sqrt{x^{2}+1}[/tex3]

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[tex3]g(x)=\sqrt{x^{2}+1}[/tex3]

o domínio de g(f(x))=?

Eu achei que [tex3]g(f(x))=\sqrt{x^2}[/tex3]

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[tex3]g(f(x))=\sqrt{x^2}[/tex3]

, logo o domínio é Real. Mas no gabarito está [tex3]{x\in \mathbb{R}|x\leq -1 }[/tex3]

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[tex3]{x\in \mathbb{R}|x\leq -1 }[/tex3]

V [tex3]x\geq 1[/tex3]

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[tex3]x\geq 1[/tex3]

[csmarcelo]

Você cometeu um equívoco no seu desenvolvimento.

[tex3]\sqrt{a}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{a}[/tex3]

está definida apenas para [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

não negativo. Logo, você não pode assumir que [tex3]\sqrt{a}^2=a[/tex3]

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[tex3]\sqrt{a}^2=a[/tex3]

para qualquer valor de [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

.

Daí, concluímos que devemos ter:

[tex3]x^2-1\geq0[/tex3]

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[tex3]x^2-1\geq0[/tex3]

[tex3]x^2\geq1[/tex3]

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[tex3]x^2\geq1[/tex3]

Portanto,

[tex3]x\leq-1\ \vee\ x\geq1[/tex3]

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[tex3]x\leq-1\ \vee\ x\geq1[/tex3]

O domínio de uma função composta coincide com o domínio da função mais interna, ou seja, nesse caso, [tex3]D(gof)=D(f)[/tex3]

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[tex3]D(gof)=D(f)[/tex3]

e [tex3]D(f)[/tex3]

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[tex3]D(f)[/tex3]

depende basicamente da determinação das condições de existência da mesma, que foi o que fiz acima.