Ensino MédioCaracterírticas de uma Função Quadrática Tópico resolvido

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petras
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Caracterírticas de uma Função Quadrática

Mensagem não lida por petras »

Seja f (x) = ax [tex3]^{2}[/tex3] + bx + c (a [tex3]\neq[/tex3] 0) uma função real definida para todo número real. Sabendo-se que existem dois números x1 e x2, distintos tais que f (x1) . f (x2) < 0, pode-se afirmar que:
a) f passa necessariamente por um máximo.
b) f passa necessariamente por um mínimo.
c) x1 . x2 é necessariamente negativo.
d) [tex3]b^{2}[/tex3] – 4ac > 0.
Resposta letra d)

Por eliminação é fácil perceber que a alternativa seria d mas alguém poderia fazer a demonstração dessa afirmação. Desde já fico grato.

Última edição: petras (Qui 27 Abr, 2017 21:32). Total de 1 vez.



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Andre13000
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Re: Caracterírticas de uma Função Quadrática

Mensagem não lida por Andre13000 »

Se temos uma função tal que [tex3]y_1y_2<0[/tex3] , e [tex3]x,y\in \mathbb{R}[/tex3] , então temos que ter obrigatoriamente no intervalo [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2[/tex3] uma raíz. Como a parábola vai e volta, temos duas raízes, portante o discriminante é maior que zero.

Última edição: Andre13000 (Qui 27 Abr, 2017 22:05). Total de 1 vez.


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csmarcelo
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Re: Caracterírticas de uma Função Quadrática

Mensagem não lida por csmarcelo »

Petras,

Entendo que se [tex3]f(x_1)\cdot f(x_2)>0[/tex3] , poderíamos ter [tex3]f(x_1)=f(x_2)[/tex3] e, assim, [tex3]b^2-4ac\geq0[/tex3] .
Última edição: csmarcelo (Qui 27 Abr, 2017 22:06). Total de 2 vezes.



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petras
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Re: Caracterírticas de uma Função Quadrática

Mensagem não lida por petras »

Grato Andre e CSmarcelo. A colocação do Andre foi bem esclarecedora.

Encontrei esta solução:
Pelo Teorema de Bolzano:
Sendo ∆ = b² – 4ac, temos que se ∆ ≤ 0, f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ ℝ ou f(x) ≤ 0, ∀ x ∈ ℝ
Como f(x1) e f(x2) têm sinais opostos, concluímos que ∆ > 0.

Não entendi a parte do ∆ ≤ 0, f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ ℝ ou f(x) ≤ 0, ∀ x ∈ ℝ . ???



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undefinied3
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Re: Caracterírticas de uma Função Quadrática

Mensagem não lida por undefinied3 »

Se [tex3]\Delta \leq 0[/tex3] , então há uma ou nenhuma raiz, então a função não muda de sinal pois não cruza o eixo x que define o sinal de y. A possibilidade de ser positivo ou negativo depende do sinal de a em [tex3]ax^2+bx+c[/tex3] .
Última edição: undefinied3 (Qui 27 Abr, 2017 23:56). Total de 1 vez.


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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petras
7 - Einstein
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Re: Caracterírticas de uma Função Quadrática

Mensagem não lida por petras »

Entendido, Grato Undefinied.




Movido de IME / ITA para Ensino Médio em Sex 28 Abr, 2017 12:56 por ALDRIN

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