Ensino Médio ⇒ Geometria Plana - Polígono Regular Tópico resolvido

[Bira]

Boa noite pessoal, tive essa questão em um simulado que fiz recentemente, não consegui encontrar sua origem e não entendi muito bem como chegar na resposta.

[...]montar uma linha especial de produção de azulejos em padrões inovadores na forma de polígonos regulares. Por limitações técnicas do maquinário que fará o corte do azulejo, estes terão necessariamente como medida de seu ângulo interno um número natural. (Os ângulos são dados em graus)
Obedecendo as limitações de produção, é correto dizer que o número total de formas de azulejos não semelhantes que podem ser produzidos é igual a:
a) 16
b) 18
c) 20
d) 22
e) 24

[Bira]

Alguém poderia confirmar se isso está correto? Agora eu consegui pensar no seguinte:
A soma dos ângulos internos de um polígono são dados na forma: [tex3]s=180(n-2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]s=180(n-2)[/tex3]

.
Cada ângulo de um polígono regular seria, então, dado por [tex3]s=\frac{180(n-2)}{n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]s=\frac{180(n-2)}{n}[/tex3]

, que me daria [tex3]180-\frac{360}{n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]180-\frac{360}{n}[/tex3]

.
Fatorando o termo 360, eu tenho [tex3]360 = 2^3*3^2*5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]360 = 2^3*3^2*5[/tex3]

, logo a razão dará em um número natural se for dividida por um múltiplo dentro desse fatoração.
Portanto, fazendo a combinação, temos [tex3](3+1)*(2+1)*(1+1)=24[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](3+1)*(2+1)*(1+1)=24[/tex3]

dado o valor dos exponentes.
EDIT:

É preciso desconsiderar [tex3]n\in\{1,2\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n\in\{1,2\}[/tex3]

, pois, nessas condições, não se forma um polígono.

Portanto, [tex3]24-2=22[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]24-2=22[/tex3]

, letra d).

[csmarcelo]

É preciso desconsiderar [tex3]n\in\{1,2\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n\in\{1,2\}[/tex3]

, pois, nessas condições, não se forma um polígono.

[Bira]

Tá certo, muito obrigado csmarcelo.