Duas formigas encontram-se em vértices de um quadrado de lado 6, sendo que a formiga A está no vértice esquerdo inferior e a outra, B, no vértice direito superior. A formiga A pode dar passos de uma unidade para cima ou para direita, enquanto a formiga B pode dar passos de uma unidade para baixo ou para esquerda. Considere que ambas realizam seus movimentos simultaneamente e que a escolha de cada movimento seja aleatória, com cada um tendo 50% de chance, e portanto não exista a possibilidade de permanecer parado. As formigas se encontram quando elas param em um mesmo ponto dentro do quadrado.
Se a probabilidade de, em algum momento, as duas formigas se encontrarem é [tex3]\frac{a}{b}[/tex3]
Como não existe a possibilidade de alguma das formigas ficar parada enquanto a outra se move, de alguma delas percorrer mais de 1 u.m. num determinado momento, nem de qualquer uma delas voltar atrás, elas acabarão por se encontrar sempre no centro do quadrado.
Mas, para que isso ocorra, é necessário que cada uma delas percorra 3, e somente 3, movimentos em uma direção e os outros 3, e somente 3, em outra. Se percorrer mais de 3 movimentos em uma determinada direção, ela ultrapassará o centro e não poderá mais voltar. Se percorrer menos, não terá caminhado o suficiente para chegar lá.
Ou seja, a formiga B, por exemplo, precisará realizar, obrigatoriamente, 3 movimentos para a esquerda e 3 movimentos para cima para chegar ao centro do quadrado.
Distribuindo 3 movimentos (somente os para a esquerda ou somente os para cima) em 6 momentos: [tex3]C^6_3=20[/tex3]
Sua ideia de que o encontro só é possível no centro do quadrado está quase certa. Na verdade elas podem se encontrar em qualquer ponto da DIAGONAL do quadrado, então é um "centro mais geral". Veja por exemplo que a formiga debaixo da esquerda pode fazer 6 movimentos pra cima e a da direita, seis movimentos pra esquerda e elas ainda se encontram, então o raciocínio de elas terem a possibilidade de somente tres movimentos em cada direção não está correta.
Eu tenho o gabarito sim, vou atualizar na primeira mensagem. A resposta é 100.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
Tem razão. O centro do quadrado foi uma resposta óbvia pra mim e acabei me fixando nele, sem perceber as outras possibilidades.
Temos, então, que considerar todos os possíveis caminhos realizados após 6 movimentos da seguinte forma: * em relação à formiga A (acho que inverti na tentativa anterior)
Ponto 1 - superior esquerdo) 6 movimentos, com nenhum movimento para a direita: [tex3]C^6_0=1[/tex3]
Repare que a generalização desse problema para um quadrado de lado n dá um resultado bem legal. Reparou como os pontos da diagonal apresentam o numero de possibilidades como os coeficientes binomiais da n-esima linha do triangulo de pascal? E aí você acha o total de maneiras somando tudo, portanto [tex3]2^n[/tex3]
e multiplicando por 2, e o total de casos favoráveis é a soma dos binomiais ao quadrado, que dá pra provar pela relação de euler que resulta em 2n escolhe n, obtendo-se entao que a probabilidade geral é
[tex3]\frac{C_{2n}^n}{4^n}[/tex3]
e a ter reconhecido no problema, não sabia da sua relação com o Triângulo de Pascal, que não conheço profundamente, e, portanto, obviamente, nunca chegaria em [tex3]C^{2n}_n[/tex3]
(eu escrevo invertido ou as duas notações são válidas? Porque eu tenho quase certeza que, na escola, eu aprendi da forma que escrevo) para a quantidade de casos favoráveis. Isso, inclusive, foi a razão de eu não ter procurado por uma generalização. Para mim não existia.
Última edição: csmarcelo (Seg 24 Abr, 2017 16:14). Total de 1 vez.
No momento estou no celular e fica complicado usar latex, entao vou evitar usar.
A escrita do p escolhe k na verdade é indiferente pelo o que eu pesquisei uma vez, tem autor que usa um outro que usa outro, eu mesmo misturo os dois mas prefiro o maior embaixo porque remete a permutação com repetição que escrevemos as repetições em cima.
A soma dos quadrados por si não é uma identidade. Ela é um caso especifico da soma de produtos de binomiais do tipo p escolhe k * p escolhe k-x. Eu conhećo como identidade de euler mas tem tanta coisa com esse nome que fica dificil de pesquisar... A ideia da identidade é que pra n homems e m mulheres, podemos formar pares de x pessoas diretamente com m+n escolhe x ou podemos escolher entre m homens, um deles e entre n mulheres, x-1 delas, MAIS, entre n homens, 2 deles e entre n mulheres, x-2 delas, MAIS ...
Se n=m=x, entao essa soma de binomiais vira 2n escolhe n, e o n escolhe 1 * n escolhe n-1 vira, pela propriedade da simetria dos binomiais, n escolhe 1 * n escolhe 1 e aparecem os termos quadrados.
Qualquer coisa em casa eu mando de novo com latex e melhor explicado.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
Oie galerinha, como ficará as equações horárias do espaço angular de cada partícula ??
As velocidades angulares terão sinais opostos levando em consideração sentidos horário e anti horário???
Como...
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Você vai ter que assumir que um movimento ocorre com velocidade positiva e um ocorre com velocidade negativa. A resposta vai dar a mesma....
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Ontem, os ciclistas Afonso e Bernardo iniciaram os respectivos
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Ranier123 , muito obrigada! Eu tinha tentado resolver usando a função horária, mas acho que fiz algo errado kkkk. Agora eu entendi! :D
Bom dia a todos. Segue esta questão, bem simples, mas que tem um detalhe que causa estranhamento.
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