Ensino MédioProbabilidade - Encontro de formigas Tópico resolvido

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undefinied3
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Probabilidade - Encontro de formigas

Mensagem não lida por undefinied3 »

Duas formigas encontram-se em vértices de um quadrado de lado 6, sendo que a formiga A está no vértice esquerdo inferior e a outra, B, no vértice direito superior. A formiga A pode dar passos de uma unidade para cima ou para direita, enquanto a formiga B pode dar passos de uma unidade para baixo ou para esquerda. Considere que ambas realizam seus movimentos simultaneamente e que a escolha de cada movimento seja aleatória, com cada um tendo 50% de chance, e portanto não exista a possibilidade de permanecer parado. As formigas se encontram quando elas param em um mesmo ponto dentro do quadrado.

Se a probabilidade de, em algum momento, as duas formigas se encontrarem é [tex3]\frac{a}{b}[/tex3] , com a e b inteiros positivos primos entre si, então o valor de [tex3]b-4a[/tex3] é?
Resposta

100

Última edição: undefinied3 (Dom 23 Abr, 2017 21:59). Total de 3 vezes.


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csmarcelo
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Re: Probabilidade - Encontro de formigas

Mensagem não lida por csmarcelo »

Como não existe a possibilidade de alguma das formigas ficar parada enquanto a outra se move, de alguma delas percorrer mais de 1 u.m. num determinado momento, nem de qualquer uma delas voltar atrás, elas acabarão por se encontrar sempre no centro do quadrado.

Mas, para que isso ocorra, é necessário que cada uma delas percorra 3, e somente 3, movimentos em uma direção e os outros 3, e somente 3, em outra. Se percorrer mais de 3 movimentos em uma determinada direção, ela ultrapassará o centro e não poderá mais voltar. Se percorrer menos, não terá caminhado o suficiente para chegar lá.

Ou seja, a formiga B, por exemplo, precisará realizar, obrigatoriamente, 3 movimentos para a esquerda e 3 movimentos para cima para chegar ao centro do quadrado.

Distribuindo 3 movimentos (somente os para a esquerda ou somente os para cima) em 6 momentos: [tex3]C^6_3=20[/tex3]

Os movimentos na outra direção ocuparão os 3 momentos restantes.

Logo, existem 20 formas da formiga B chegar ao centro do quadrado e o mesmo vale para a formiga A.

Assim, existem [tex3]20^2[/tex3] formas das formigas se encontrarem no centro do quadrado.

Agora vamos ver as formas da formiga B não encontrar a formiga A (chegar ao centro):

Andando apenas uma vez para a direita [tex3]C^6_1=6[/tex3]
Andando apenas duas vezes para a direita [tex3]C^6_2=15[/tex3]
Andando quatro vezes para a direita [tex3]C^6_4=15[/tex3]
Andando cinco vezes para a direita [tex3]C^6_5=6[/tex3]
Andando seis vezes para a direita [tex3]C^6_6=1[/tex3]

Existem, portanto, 43 formas de a formiga B não chegar ao centro em 6 movimentos e o mesmo vale para a formiga A.

Assim, existem [tex3]43^2[/tex3] formas das formigas não encontrarem.

[tex3]\frac{20^2}{43^2}=\frac{400}{1849}\rightarrow\begin{cases}a=400\\b=1849\end{cases}\rightarrow b-4a=249[/tex3]

Acho que é isso. Estou correndo e não pude validar inteiramente o meu raciocínio. Tem o gabarito?

Última edição: csmarcelo (Seg 24 Abr, 2017 08:50). Total de 1 vez.



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Re: Probabilidade - Encontro de formigas

Mensagem não lida por undefinied3 »

Sua ideia de que o encontro só é possível no centro do quadrado está quase certa. Na verdade elas podem se encontrar em qualquer ponto da DIAGONAL do quadrado, então é um "centro mais geral". Veja por exemplo que a formiga debaixo da esquerda pode fazer 6 movimentos pra cima e a da direita, seis movimentos pra esquerda e elas ainda se encontram, então o raciocínio de elas terem a possibilidade de somente tres movimentos em cada direção não está correta.

Eu tenho o gabarito sim, vou atualizar na primeira mensagem. A resposta é 100.


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csmarcelo
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Re: Probabilidade - Encontro de formigas

Mensagem não lida por csmarcelo »

Tem razão. O centro do quadrado foi uma resposta óbvia pra mim e acabei me fixando nele, sem perceber as outras possibilidades.

Temos, então, que considerar todos os possíveis caminhos realizados após 6 movimentos da seguinte forma: * em relação à formiga A (acho que inverti na tentativa anterior)

Ponto 1 - superior esquerdo) 6 movimentos, com nenhum movimento para a direita: [tex3]C^6_0=1[/tex3]
Ponto 2) 6 movimentos, com um para a direita: [tex3]C^6_1=6[/tex3]
Ponto 3) Com dois movimentos para a direita: [tex3]C^6_2=15[/tex3]
Ponto 4 - central) Com três movimentos para a direita: [tex3]C^6_3=20[/tex3]
Ponto 5) Com quatro movimentos para a direita: [tex3]C^6_4=15[/tex3]
Ponto 6) Com cinco movimentos para a direita: [tex3]C^6_5=6[/tex3]
Ponto 7 - inferior direito) Com seis movimentos para a direita: [tex3]C^6_6=1[/tex3]

Isso nos dá um total de 64 caminhos possíveis para A alcançar algum dos pontos da diagonal e o mesmo vale para B de forma simétrica.

Dessa forma, temos um total de [tex3]64^2=4096[/tex3] formas de A, junto com B, chegarem em algum (não necessariamente no mesmo) dos pontos da diagonal.

Existe apenas uma forma de A chegar no ponto 1 e o mesmo vale para B. Assim, existem [tex3]1^2=1[/tex3] formas de A e B se encontrarem no ponto 1 através de caminhos diversos.

Existem 6 formas de A chegar no ponto 2 e o mesmo vale para B. Assim, existem [tex3]6^2=36[/tex3] formas de A e B se encontrarem no ponto 2 através de caminhos diversos.

E assim por diante, perfazendo um total de [tex3]924[/tex3] formas de A e B se encontrarem em algum dos pontos da diagonal através de caminhos diversos.

[tex3]\frac{924}{4096}=\frac{231}{1024}\rightarrow\begin{cases}a=231\\b=1024\end{cases}\rightarrow b-4a=100[/tex3]
Última edição: csmarcelo (Seg 24 Abr, 2017 14:32). Total de 2 vezes.



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Re: Probabilidade - Encontro de formigas

Mensagem não lida por undefinied3 »

Perfeito! É isso mesmo :)

Repare que a generalização desse problema para um quadrado de lado n dá um resultado bem legal. Reparou como os pontos da diagonal apresentam o numero de possibilidades como os coeficientes binomiais da n-esima linha do triangulo de pascal? E aí você acha o total de maneiras somando tudo, portanto [tex3]2^n[/tex3] e multiplicando por 2, e o total de casos favoráveis é a soma dos binomiais ao quadrado, que dá pra provar pela relação de euler que resulta em 2n escolhe n, obtendo-se entao que a probabilidade geral é
[tex3]\frac{C_{2n}^n}{4^n}[/tex3]
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Re: Probabilidade - Encontro de formigas

Mensagem não lida por csmarcelo »

Por isso adoro matemática! Uma expressão ridícula de pequena, mas cheia de significado.

Apesar de conhecer a identidade [tex3]\sum_{i=0}^nC^n_i=2^n[/tex3] e a ter reconhecido no problema, não sabia da sua relação com o Triângulo de Pascal, que não conheço profundamente, e, portanto, obviamente, nunca chegaria em [tex3]C^{2n}_n[/tex3] (eu escrevo invertido ou as duas notações são válidas? Porque eu tenho quase certeza que, na escola, eu aprendi da forma que escrevo) para a quantidade de casos favoráveis. Isso, inclusive, foi a razão de eu não ter procurado por uma generalização. Para mim não existia.
Última edição: csmarcelo (Seg 24 Abr, 2017 16:14). Total de 1 vez.



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Re: Probabilidade - Encontro de formigas

Mensagem não lida por csmarcelo »

Estou olhando as propriedades do Triângulo e conheço a maioria. Só não estou achando nada sobre a soma dos quadrados dos binomiais.



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Re: Probabilidade - Encontro de formigas

Mensagem não lida por undefinied3 »

No momento estou no celular e fica complicado usar latex, entao vou evitar usar.

A escrita do p escolhe k na verdade é indiferente pelo o que eu pesquisei uma vez, tem autor que usa um outro que usa outro, eu mesmo misturo os dois mas prefiro o maior embaixo porque remete a permutação com repetição que escrevemos as repetições em cima.

A soma dos quadrados por si não é uma identidade. Ela é um caso especifico da soma de produtos de binomiais do tipo p escolhe k * p escolhe k-x. Eu conhećo como identidade de euler mas tem tanta coisa com esse nome que fica dificil de pesquisar... A ideia da identidade é que pra n homems e m mulheres, podemos formar pares de x pessoas diretamente com m+n escolhe x ou podemos escolher entre m homens, um deles e entre n mulheres, x-1 delas, MAIS, entre n homens, 2 deles e entre n mulheres, x-2 delas, MAIS ...
Se n=m=x, entao essa soma de binomiais vira 2n escolhe n, e o n escolhe 1 * n escolhe n-1 vira, pela propriedade da simetria dos binomiais, n escolhe 1 * n escolhe 1 e aparecem os termos quadrados.

Qualquer coisa em casa eu mando de novo com latex e melhor explicado.


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Re: Probabilidade - Encontro de formigas

Mensagem não lida por undefinied3 »

Aqui: https://pt.wikipedia.org/wiki/Identidade_de_Vandermonde

Pode ser chamado de Identidade de Vandermonde ou Teorema de Euler.
A prova tem na página em inglês:
https://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde%27s_identity


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Re: Probabilidade - Encontro de formigas

Mensagem não lida por csmarcelo »

Show de bola. Obrigado por compartilhar, undefinied3!




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