Ensino Médio ⇒ Probabilidade - Lançamento de Moedas Tópico resolvido

[undefinied3]

Três amigos estão lançando moedas, sendo que em cada rodada, os três lançam, simultaneamente, uma de suas moedas.

a) Calcule a probabilidade de que, no máximo em 3 rodadas, os três obtenham juntos 3 caras em uma das rodadas.

b) Dessa vez, os três amigos resolvem não terminar o jogo até que todos os três obtenham 3 caras juntos, em uma mesma rodada. Calcule a probabilidade de que eles terminem o jogo em algum momento, isto é, os três obtenham 3 caras juntos em alguma rodada.

[undefinied3]

Up

[csmarcelo]

a)

Chances de se obter 3 caras em qualquer rodada:

[tex3]\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}[/tex3]

Chances de não se obter 3 caras em qualquer rodada (negação da anterior):

[tex3]1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}[/tex3]

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[tex3]1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}[/tex3]

Chances de não se obter 3 caras em uma mesma rodada em 3 rodadas:

[tex3]\frac{7}{8}\cdot\frac{7}{8}\cdot\frac{7}{8}=\frac{343}{512}[/tex3]

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[tex3]\frac{7}{8}\cdot\frac{7}{8}\cdot\frac{7}{8}=\frac{343}{512}[/tex3]

Chances de se obter 3 caras em uma mesma rodada em até 3 rodadas (negação da anterior):

[tex3]1-\frac{343}{512}=\frac{169}{512}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1-\frac{343}{512}=\frac{169}{512}[/tex3]

b)

Chances de não se obter 3 caras em uma mesma rodada em [tex3]k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k[/tex3]

rodadas:

[tex3]\left(\frac{7}{8}\right)^k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{7}{8}\right)^k[/tex3]

As chances de se obter 3 caras apenas na rodada [tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

corresponde às chances de se obter 3 caras na rodada [tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

, mas não nas [tex3]n-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n-1[/tex3]

rodadas anteriores:

[tex3]\frac{1}{8}\cdot\left(\frac{7}{8}\right)^{n-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{8}\cdot\left(\frac{7}{8}\right)^{n-1}[/tex3]

[undefinied3]

A letra B incrivelmente não depende das jogadas anteriores.

[csmarcelo]

Como não??

Eu interpretei corretamente? Você quer efetivamente saber...

As chances de se obter 3 caras apenas na rodada [tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

?

[undefinied3]

Não, não é que acabe na rodada n, mas que o jogo acabe em algum momento. Isso pode acontecer na primeira, na segunda, na terceira, na 1000 rodada e tem uma probabilidade "maior" que define a chance disso acontecer, não na rodada n, mas simplesmente disso acontecer. É uma sacadinha que tem que ter, qualquer coisa eu posto a resolução mais tarde.

[csmarcelo]

Simplesmente [tex3]\frac{1}{8}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{8}[/tex3]

?

[undefinied3]

Também não Vou resolver:

Seja p a probabilidade de que o jogo acabe. Começando o jogo, temos:
1/8 de chance do jogo acabar naquela rodada, 7/8 do jogo ir pra próxima rodada
[tex3]p=\frac{1}{8}+\frac{7}{8}(...)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p=\frac{1}{8}+\frac{7}{8}(...)[/tex3]

Agora estamos na segunda rodada. Temos 1/8 de chance do jogo acabar nela, e 7/8 de continuar
[tex3]p=\frac{1}{8}+\frac{7}{8}(\frac{1}{8}+\frac{7}{8}(...))[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p=\frac{1}{8}+\frac{7}{8}(\frac{1}{8}+\frac{7}{8}(...))[/tex3]

E assim infinitamente, porque não sabemos quando o jogo acaba. Mas aí entra a sacadinha igual aqueles exercícios de por exemplo calcular a raiz quadrada da raiz quadrada da raiz quadrada... infinitamente.
Repare que, quando vamos pra próxima rodada, tentamos novamente calcular a probabilidade do jogo acabar, com a estrutura "1/8 acaba, 7/8 continua", e essa estrutura é justamente a probabilidade que queremos! Assim podemos escrever:
[tex3]p=\frac{1}{8}+\frac{7}{8}p[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p=\frac{1}{8}+\frac{7}{8}p[/tex3]

Porque essa probabilidade, por ser infinita, independe da rodada em que estamos. Assim:
[tex3]p=\frac{1}{8}+\frac{7p}{8} \rightarrow p=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p=\frac{1}{8}+\frac{7p}{8} \rightarrow p=1[/tex3]

Ou seja, o jogo SEMPRE acaba, probabilisticamente.

A ideia é um tanto semelhante com um problema antigo da OBM:
Joga-se uma moeda honesta até que a quantidade obtida de "caras" seja maior que a de "coroas", quando então interrompe-se a sequência de jogadas. Qual a probabilidade dessa sequência nunca terminar?
E a resposta é zero. O problema é um pouquinho mais complicado de matematizar, mas a ideia é a mesma.

To tentando lembrar de uma questão que a resposta não é 0 ou 1, dá uma probabilidade intermediária, mas não to conseguindo. Qualquer coisa eu posto mais tarde.

[undefinied3]

Achei.

Três amigos jogam moedas de maneira que cada um só para quando obtém a sua primeira coroa. Calcule a probabilidade de que os três lancem igual quantidade de moedas.

[csmarcelo]

Sério que é isso? Para mim é tão óbvio que em algum momento o jogo vai acabar que não quis acreditar que era isso que se estava perguntando. Nem passou pela minha cabeça que era apenas uma questão de demonstração.

Uma outra forma de se achar a probabilidade seria por limite, não? A chance de o jogo acabar em algum momento não seria igual a [tex3]\lim_{n\rightarrow\infty}\left[1-\left(\frac{7}{8}\right)^n\right][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{n\rightarrow\infty}\left[1-\left(\frac{7}{8}\right)^n\right][/tex3]

?

Como se resolve esse limite?