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Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
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Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Médio ⇒ Probabilidade - Lançamento de Moedas Tópico resolvido
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Abr 2017
26
14:58
Re: Probabilidade - Lançamento de Moedas
Sim também dá por limite. Note que 7/8<1, entao ao elevar a numero muito grande, ele vai pra zero e sobra só o 1.
A outra questao tambem dá por limite, mas vira uma série complicada de expressar porque os termos ficam multiplicando, aí precisar fazer o esquema de substituir incognitas. Chegando casa eu resolvo a outra.
A outra questao tambem dá por limite, mas vira uma série complicada de expressar porque os termos ficam multiplicando, aí precisar fazer o esquema de substituir incognitas. Chegando casa eu resolvo a outra.
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Abr 2017
26
15:21
Re: Probabilidade - Lançamento de Moedas
Sim, mas como demonstrar?Sim também dá por limite. Note que 7/8<1, entao ao elevar a numero muito grande, ele vai pra zero e sobra só o 1.
[tex3]\lim_{n\rightarrow\infty}\left[1-\left(\frac{7}{8}\right)^n\right]=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{8^n}\cdot\frac{1}{\frac{1}{7^n}}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{\infty}\cdot\frac{1}{\frac{1}{\infty}}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-0\cdot\frac{1}{0}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-0\cdot0\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}1=1[/tex3]
Seria isso? Sempre me confundo bastante com operações com infinito.
Vou tentar resolver o segundo problema.
Editado pela última vez por csmarcelo em 26 Abr 2017, 15:21, em um total de 1 vez.
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Abr 2017
26
15:30
Re: Probabilidade - Lançamento de Moedas
Essa questão das moedas parece ser interessante. Aqui vai minha tentativa. Se tiver algo absurdo, me desculpe, mas não entendo muito bem probabilidade e combinatória em geral.
A chance de cada participante encerrar o seu jogo em função da quantidade de moedas jogadas é [tex3]\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^k}=1-\frac{1}{2^n}[/tex3] , onde n é o número de moedas jogadas. Se [tex3]s[/tex3] for o número de jogadas em que o jogo acaba os três, ou seja, s é o mesmo para todos, diferente de n, que podia ser diferente para cada um, então:
A probabilidade do jogo acabar na primeira rodada, suprindo a condição do problema:
[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\\[/tex3]
A probabilidade do jogo acabar em uma rodada qualquer, contando que nas anteriores todo mundo tirou cara:
[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\\[/tex3]
Probabilidade do jogo não acabar na primeira rodada, sendo que nesta todos tirarão cara:
[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\\[/tex3]
Chance de não acabar o jogo em uma rodada qualquer, contando que este não acabou ainda:
[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\\[/tex3]
Logo:
[tex3]P=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{8}+~...\right)\right)\right)\right)\\
P=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}P\\
\frac{7P}{8}=\frac{1}{8}\\
P=\frac{1}{7}[/tex3]
A chance de cada participante encerrar o seu jogo em função da quantidade de moedas jogadas é [tex3]\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^k}=1-\frac{1}{2^n}[/tex3] , onde n é o número de moedas jogadas. Se [tex3]s[/tex3] for o número de jogadas em que o jogo acaba os três, ou seja, s é o mesmo para todos, diferente de n, que podia ser diferente para cada um, então:
A probabilidade do jogo acabar na primeira rodada, suprindo a condição do problema:
[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\\[/tex3]
A probabilidade do jogo acabar em uma rodada qualquer, contando que nas anteriores todo mundo tirou cara:
[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\\[/tex3]
Probabilidade do jogo não acabar na primeira rodada, sendo que nesta todos tirarão cara:
[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\\[/tex3]
Chance de não acabar o jogo em uma rodada qualquer, contando que este não acabou ainda:
[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\\[/tex3]
Logo:
[tex3]P=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{8}+~...\right)\right)\right)\right)\\
P=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}P\\
\frac{7P}{8}=\frac{1}{8}\\
P=\frac{1}{7}[/tex3]
Editado pela última vez por Andre13000 em 26 Abr 2017, 15:30, em um total de 1 vez.
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Abr 2017
26
15:50
Re: Probabilidade - Lançamento de Moedas
Seja [tex3]0<k<1[/tex3]
Mas [tex3]\sum_{n=1}^{\infty}k^n>\int_{1}^{\infty}k^x~dx[/tex3] , e essa soma tem um valor definido, pois é uma progressão geométrica de razão menor que 1. Por comparação, então, [tex3]\lim_{x\to\infty}k^x=0[/tex3]
Talvez você não tenha percebido, mas na sua demonstração há a indeterminação de forma [tex3]0\cdot \infty[/tex3] .
tal que S=[tex3]\int_{1}^{\infty}k^x~dx=\left[\frac{k^x}{\ln k}\right]_1^\infty[/tex3]
. Essa integral convergirá se no limite, se, e somente se [tex3]\lim_{x\to\infty}k^x=0[/tex3]
.Mas [tex3]\sum_{n=1}^{\infty}k^n>\int_{1}^{\infty}k^x~dx[/tex3] , e essa soma tem um valor definido, pois é uma progressão geométrica de razão menor que 1. Por comparação, então, [tex3]\lim_{x\to\infty}k^x=0[/tex3]
Talvez você não tenha percebido, mas na sua demonstração há a indeterminação de forma [tex3]0\cdot \infty[/tex3] .
Editado pela última vez por Andre13000 em 26 Abr 2017, 15:50, em um total de 2 vezes.
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Abr 2017
26
16:54
Re: Probabilidade - Lançamento de Moedas
A resolução é essa mesma, André. Se quiser ver uma questão fantástica e bem difícil dessa ideia, procure pela questao... 7? Do IME 2016 (prova aplicada em 2015), da parte discursiva. Até hoje não consigo resolver ela sem me enrolar todo com a lógica
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Abr 2017
26
17:20
Re: Probabilidade - Lançamento de Moedas
Não é a dos jogadores A, B e C, cada um com chance de 1/6 de ganhar e 5/6 de passar a vez? Essa eu tentei fazer do jeito que gosto, séries infinitas (hehehe).. Não deu muito certo. A resolução é simples, mas a ideia é bem confusa mesmo.
Editado pela última vez por Andre13000 em 26 Abr 2017, 17:20, em um total de 1 vez.
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