Ensino Médio ⇒ Probabilidade - Lançamento de Moedas Tópico resolvido

[undefinied3]

Sim também dá por limite. Note que 7/8<1, entao ao elevar a numero muito grande, ele vai pra zero e sobra só o 1.

A outra questao tambem dá por limite, mas vira uma série complicada de expressar porque os termos ficam multiplicando, aí precisar fazer o esquema de substituir incognitas. Chegando casa eu resolvo a outra.

[csmarcelo]

Sim também dá por limite. Note que 7/8<1, entao ao elevar a numero muito grande, ele vai pra zero e sobra só o 1.

Sim, mas como demonstrar?

[tex3]\lim_{n\rightarrow\infty}\left[1-\left(\frac{7}{8}\right)^n\right]=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{8^n}\cdot\frac{1}{\frac{1}{7^n}}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{\infty}\cdot\frac{1}{\frac{1}{\infty}}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-0\cdot\frac{1}{0}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-0\cdot0\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}1=1[/tex3]

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[tex3]\lim_{n\rightarrow\infty}\left[1-\left(\frac{7}{8}\right)^n\right]=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{8^n}\cdot\frac{1}{\frac{1}{7^n}}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{\infty}\cdot\frac{1}{\frac{1}{\infty}}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-0\cdot\frac{1}{0}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-0\cdot0\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}1=1[/tex3]

Seria isso? Sempre me confundo bastante com operações com infinito.

Vou tentar resolver o segundo problema.

[Andre13000]

Essa questão das moedas parece ser interessante. Aqui vai minha tentativa. Se tiver algo absurdo, me desculpe, mas não entendo muito bem probabilidade e combinatória em geral.

A chance de cada participante encerrar o seu jogo em função da quantidade de moedas jogadas é [tex3]\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^k}=1-\frac{1}{2^n}[/tex3]

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[tex3]\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^k}=1-\frac{1}{2^n}[/tex3]

, onde n é o número de moedas jogadas. Se [tex3]s[/tex3]

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[tex3]s[/tex3]

for o número de jogadas em que o jogo acaba os três, ou seja, s é o mesmo para todos, diferente de n, que podia ser diferente para cada um, então:

A probabilidade do jogo acabar na primeira rodada, suprindo a condição do problema:

[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\\[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\\[/tex3]

A probabilidade do jogo acabar em uma rodada qualquer, contando que nas anteriores todo mundo tirou cara:

[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\\[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\\[/tex3]

Probabilidade do jogo não acabar na primeira rodada, sendo que nesta todos tirarão cara:

[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\\[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\\[/tex3]

Chance de não acabar o jogo em uma rodada qualquer, contando que este não acabou ainda:

[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\\[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\\[/tex3]

Logo:

[tex3]P=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{8}+~...\right)\right)\right)\right)\\
P=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}P\\
\frac{7P}{8}=\frac{1}{8}\\
P=\frac{1}{7}[/tex3]

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[tex3]P=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{8}+~...\right)\right)\right)\right)\\
P=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}P\\
\frac{7P}{8}=\frac{1}{8}\\
P=\frac{1}{7}[/tex3]

[Andre13000]

Seja [tex3]0<k<1[/tex3]

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[tex3]0<k<1[/tex3]

tal que S=[tex3]\int_{1}^{\infty}k^x~dx=\left[\frac{k^x}{\ln k}\right]_1^\infty[/tex3]

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[tex3]\int_{1}^{\infty}k^x~dx=\left[\frac{k^x}{\ln k}\right]_1^\infty[/tex3]

. Essa integral convergirá se no limite, se, e somente se [tex3]\lim_{x\to\infty}k^x=0[/tex3]

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[tex3]\lim_{x\to\infty}k^x=0[/tex3]

.

Mas [tex3]\sum_{n=1}^{\infty}k^n>\int_{1}^{\infty}k^x~dx[/tex3]

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[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}k^n>\int_{1}^{\infty}k^x~dx[/tex3]

, e essa soma tem um valor definido, pois é uma progressão geométrica de razão menor que 1. Por comparação, então, [tex3]\lim_{x\to\infty}k^x=0[/tex3]

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[tex3]\lim_{x\to\infty}k^x=0[/tex3]

Talvez você não tenha percebido, mas na sua demonstração há a indeterminação de forma [tex3]0\cdot \infty[/tex3]

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[tex3]0\cdot \infty[/tex3]

.

[csmarcelo]

Obrigado pela explicação, Andre3000!

[undefinied3]

A resolução é essa mesma, André. Se quiser ver uma questão fantástica e bem difícil dessa ideia, procure pela questao... 7? Do IME 2016 (prova aplicada em 2015), da parte discursiva. Até hoje não consigo resolver ela sem me enrolar todo com a lógica

[Andre13000]

Não é a dos jogadores A, B e C, cada um com chance de 1/6 de ganhar e 5/6 de passar a vez? Essa eu tentei fazer do jeito que gosto, séries infinitas (hehehe).. Não deu muito certo. A resolução é simples, mas a ideia é bem confusa mesmo.