Respondendo a pedido:
Deve ter um jeito de fazer na raça, na álgebra, mas vou resolver com uma ferramenta que torna a questão imediata: o círculo de Apolônio.
É possível demonstrar que a bissetriz interna e externa de um triângulo divide o lado oposto na razão harmônica. Isso é consequência direta do teorema da bissetriz externa e interna, então "deixo a demonstração para o leitor". Assim, é possível traçar a circunferência de apolônio passando pela interseção da bissetriz interna com um lado e pela interseção da bissetriz externa com a reta suporte do mesmo lado. Se razão entre os lados do triângulo é [tex3]k[/tex3]
, e me refiro aos dois lados que formam o vértice de onde sai a bissetriz, então demonstra-se também que o raio da circunferência de apolônio é [tex3]\frac{kl}{|k^2-1| }[/tex3]
, sendo l o lado oposto ao ângulo da bissetriz.
No problema, foi dado a razão em que a bissetriz partindo de C divide o lado AB. Pelo teorema da bissetriz interna, a razão entre os lados também é k, assim o raio da circunferência de apolônio para este caso é [tex3]\frac{kl}{k^2-1}[/tex3]
, já que foi dito que k>1. Agora, acompanhe a figura:
No caso, quero que fique claro que apesar do triângulo ABC existir na figura, não é esse que é o do problema. O que estarei trabalhando é o APB, cujas bissetrizes são os tracejados verdes perpendiculares. Repare como o ponto P pode andar sobre a circunferência sem alterar a razão entre os lados, como prevê a relação da circunferência de apolônio. Assim, é fácil perceber que o máximo da área do triângulo irá ocorrer quando o ponto P estiver no topo da circunferência e a altura relativa ao lado AB medir o próprio raio, [tex3]\therefore d(P,AB)_{max}=\frac{kl}{k^2-1}[/tex3]
. Neste caso, já teremos a base e a altura, e fica fácil calcular a área: [tex3]A_{max}=\frac{l}{2}.\frac{kl}{k^2-1}=\frac{kl^2}{2(k^2-1)}[/tex3]
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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