Ensino MédioTriângulo de área máxima

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undefinied3
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Triângulo de área máxima

Mensagem não lida por undefinied3 »

Questão legal :D

Seja o triângulo ABC tal que o lado oposto ao ângulo C mede l. A bissetriz partindo de C divide tal lado na razão k>0, diferente de 1. Calcule a maior área possível do triângulo em função de l e k.
Resposta

Resposta: [tex3]A_{max}=\frac{kl^2}{2(k^2-1)}[/tex3]

Última edição: undefinied3 (Qua 19 Abr, 2017 11:29). Total de 2 vezes.


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csmarcelo
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Re: Triângulo de área máxima

Mensagem não lida por csmarcelo »

Vou tentar mais tarde!




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undefinied3
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Re: Triângulo de área máxima

Mensagem não lida por undefinied3 »

Respondendo a pedido:

Deve ter um jeito de fazer na raça, na álgebra, mas vou resolver com uma ferramenta que torna a questão imediata: o círculo de Apolônio.

É possível demonstrar que a bissetriz interna e externa de um triângulo divide o lado oposto na razão harmônica. Isso é consequência direta do teorema da bissetriz externa e interna, então "deixo a demonstração para o leitor". Assim, é possível traçar a circunferência de apolônio passando pela interseção da bissetriz interna com um lado e pela interseção da bissetriz externa com a reta suporte do mesmo lado. Se razão entre os lados do triângulo é [tex3]k[/tex3] , e me refiro aos dois lados que formam o vértice de onde sai a bissetriz, então demonstra-se também que o raio da circunferência de apolônio é [tex3]\frac{kl}{|k^2-1| }[/tex3] , sendo l o lado oposto ao ângulo da bissetriz.

No problema, foi dado a razão em que a bissetriz partindo de C divide o lado AB. Pelo teorema da bissetriz interna, a razão entre os lados também é k, assim o raio da circunferência de apolônio para este caso é [tex3]\frac{kl}{k^2-1}[/tex3] , já que foi dito que k>1. Agora, acompanhe a figura:
Screenshot_3.png
No caso, quero que fique claro que apesar do triângulo ABC existir na figura, não é esse que é o do problema. O que estarei trabalhando é o APB, cujas bissetrizes são os tracejados verdes perpendiculares. Repare como o ponto P pode andar sobre a circunferência sem alterar a razão entre os lados, como prevê a relação da circunferência de apolônio. Assim, é fácil perceber que o máximo da área do triângulo irá ocorrer quando o ponto P estiver no topo da circunferência e a altura relativa ao lado AB medir o próprio raio, [tex3]\therefore d(P,AB)_{max}=\frac{kl}{k^2-1}[/tex3] . Neste caso, já teremos a base e a altura, e fica fácil calcular a área: [tex3]A_{max}=\frac{l}{2}.\frac{kl}{k^2-1}=\frac{kl^2}{2(k^2-1)}[/tex3]
Última edição: undefinied3 (Qui 20 Abr, 2017 22:40). Total de 4 vezes.


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csmarcelo
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Re: Triângulo de área máxima

Mensagem não lida por csmarcelo »

Não tive tempo de tentar resolver, mas eu não conhecia a circunferência de Apolônio. A tentativa seria na raça mesmo.




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