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Produto de Senos 3
Enviado: Qua 19 Abr, 2017 11:10
por undefinied3
Calcule
[tex3]\sen\(\frac{\pi}{n}\)\cdot \sen\(\frac{2\pi}{n}\)\cdot \sen\(\frac{3\pi}{n}\)...\sen\(\frac{(n-1)\pi}{n}\)[/tex3]
Re: Produto de Senos 3
Enviado: Qua 19 Abr, 2017 13:32
por Andre13000
É fácil ver que [tex3]\sen n\alpha=0[/tex3]
satisfaz [tex3]\alpha=\frac{k\pi}{n}[/tex3]
, para k inteiro.
[tex3]\sen n\alpha=0[/tex3]
Pois:
[tex3]\alpha=\frac{k\pi}{n}\\
\alpha=\frac{2k\pi}{2n}\\
2n\alpha=2k\pi\\
n\alpha=-n\alpha+2k\pi\\
\sen n\alpha=\sen (-n\alpha+2k\pi)\\
2\sen n\alpha=0\\
\sen n\alpha=0[/tex3]
Fica difícil de usar o segundo tipo de polinômio de Chebyshev para n arbitrário. Apelando para identidades trigonométrico-imaginárias temos:
[tex3]\sen n\alpha=\frac{e^{in\alpha}-e^{-in\alpha}}{2i}=\frac{(\cos n\alpha+i\sen n\alpha)-(\cos -n\alpha+i\sen -n\alpha)}{2i}\\
\frac{(\cos \alpha+i\sen \alpha)^n-(\cos \alpha-i\sen \alpha)^n}{2i}=\frac{1}{2i}\left(\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\cos^{n-k}\alpha\cdot i^k\cdot \sen^k\alpha-\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\cos^{n-k}\alpha\cdot i^k\cdot \sen^k\alpha\cdot (-1)^k\right)[/tex3]
Sabemos que todos os valores reais TEM de cancelar, então metade desse trambolho foi embora. Fica:
[tex3]\frac{1}{\cancel2i}\left(\cancel2\sum_{k=1}^{n}{n\choose k}\cos^{n-k}\alpha\cdot i^k\cdot \sen^k\alpha\right)=\frac{1}{i}\sum_{k=1}^{n}{n\choose k}\cos^{n-k}\alpha\cdot i^k\cdot \sen^k\alpha[/tex3]
Lembrando que agora temos a condição [tex3]k=\{1,3,5,7,~...~,n\}[/tex3]
para [tex3]n\equiv 1\mod 2[/tex3]
e [tex3]k=\{1,3,5,7,~...~,n-1\}[/tex3]
para [tex3]n\equiv 0 \mod 2[/tex3]
. O somatório também será alternado, começando por mais.
Para ímpar:
[tex3]\frac{1}{i}\sum_{k=1}^{n}{n\choose k}\cos^{n-k}\alpha\cdot i^k\cdot \sen^k\alpha={n\choose 1}\cos^{n-1}\alpha\sen\alpha-{n\choose 3}\cos^{n-3}\alpha\sen^3\alpha+~...~+\frac{i^{n-1}}{i}{n \choose n}\sen^n\alpha[/tex3]
[tex3]{n\choose 1}\cos^{n-1}\alpha\sen\alpha-{n\choose 3}\cos^{n-3}\alpha\sen^3\alpha+~...~+i^{n-2}{n \choose n}\sen^n\alpha=0\\
{n\choose 1}(1-\sen^2\alpha)^{\frac{n-1}{2}}\sen\alpha-{n\choose 3}(1-\sen^2\alpha)^{\frac{n-3}{2}}\alpha\sen^3\alpha+~...~+i^{n-2}{n \choose n}\sen^n\alpha=0[/tex3]
Dividindo tudo por seno:
[tex3]{n\choose 1}(1-\sen^2\alpha)^{\frac{n-1}{2}}-{n\choose 3}(1-\sen^2\alpha)^{\frac{n-3}{2}}\alpha\sen^2\alpha+~...~+i^{n-2}{n \choose n}\sen^{n-1}\alpha=0[/tex3]
O termo independente de seno será [tex3]{n\choose 1}=n[/tex3]
e o coeficiente do seno com maior potência será igual ao somatório [tex3]\sum_{k=0}^{n}{n\choose 2k+1}\cdot (-1)^{k}[/tex3]
e eu não tenho certeza de como somar esse treco todo, então joguei no wolfram alpha e ele me deu [tex3]\frac{(1 - i)^n - i (1 + i)^n}{2i}[/tex3]
, não sabendo exatamente como ele chegou nisso. Mas, com os dados coletados, posso dizer duvidosamente que para número ímpares esse produtório dá: [tex3]\pm\frac{n}{\frac{(1 - i)^n - i (1 + i)^n}{2i}}[/tex3]
. Usei o mais ou menos porque tenho que ir almoçar agora, mas depois determino qual é o sinal. Tenho quase certeza que errei algo.
Edit: Tá errado. Tem um problema estrutural na minha maneira de resolver. Acho que foi na parte que juntei os somatórios...
Edit2: por enquanto achei que o somátorio do [tex3]\sen n\alpha[/tex3]
respeita a seguinte relação:
[tex3]\sen n\theta=\sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}{n \choose 2k+1}\sen^{2k+1}\theta\cos^{n-2k-1}\theta\cdot (-1)^k[/tex3]
para n ímpar e
[tex3]\sen n\theta=\sum_{k=0}^{\frac{n-2}{2}}{n \choose 2k+1}\sen^{2k+1}\theta\cos^{n-2k-1}\theta\cdot (-1)^k[/tex3]
para n par.
Edit3: essa questão é do capeta.
Edit4: O wolfram alpha apresenta a seguinte relação: [tex3]\sen n\theta=\sen\theta\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}(-1)^k{n-k-1 \choose k}2^{n-2k-1}\cos^{n-2k-1}\theta[/tex3]
que apesar de ser muito parecida com a fórmula que eu encontrei, é bem melhor. Não sei como chegar nela exatamente. Estou usando ela para tentar fazer a questão.
Edit5: Provei para os ímpares, estou com preguiça de provar para os pares. Estou arrumando certinho tudo no LaTex
Re: Produto de Senos 3
Enviado: Qua 19 Abr, 2017 19:29
por Andre13000
No caso ímpar:
[tex3]\sen n\theta=\sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}{n \choose 2k+1}\sen^{2k+1}\theta\cos^{n-2k-1}\theta\cdot (-1)^k\\
\sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}{n \choose 2k+1}\sen^{2k+1}\theta\cos^{n-2k-1}\theta\cdot (-1)^k=0\\
{n \choose 1}\sen\theta\cos^{n-1}\theta-{n \choose 3}\sen^3\theta\cos^{n-3}\theta+{n \choose 5}\sen^5\theta\cos^{n-5}\theta-~...~+(-1)^{\frac{n-1}{2}}{n\choose n}\sen^n\theta=0\\
{n \choose 1}\sen\theta\cdot(1-\sen^2\theta)^{\frac{n-1}{2}}-{n \choose 3}\sen^3\theta\cdot(1-\sen^2\theta)^{\frac{n-3}{2}}+{n \choose 5}\sen^5\theta\cdot(1-\sen^2\theta)^{\frac{n-5}{2}}-~...~+(-1)^{\frac{n-1}{2}}{n\choose n}\sen^n\theta=0[/tex3]
Dividindo o polinômio por senx pois sen (pi) ou sen(0) não nos interessa:
[tex3]{n \choose 1}(1-\sen^2\theta)^{\frac{n-1}{2}}-{n \choose 3}\sen^2\theta\cdot(1-\sen^2\theta)^{\frac{n-3}{2}}+{n \choose 5}\sen^4\theta\cdot(1-\sen^2\theta)^{\frac{n-5}{2}}-~...~+(-1)^{\frac{n-1}{2}}{n\choose n}\sen^{n-1}\theta=0[/tex3]
Substituindo seno por x:
[tex3]{n \choose 1}(1-x^2)^{\frac{n-1}{2}}-{n \choose 3}x^2\cdot(1-x^2)^{\frac{n-3}{2}}+{n \choose 5}x^4\cdot(1-x^2)^{\frac{n-5}{2}}-~...~+(-1)^{\frac{n-1}{2}}{n\choose n}x^{n-1}=0\\
{n\choose 1}\sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}(-1)^k\cdot x^{2k}-{n\choose 3}\sum_{k=0}^{\frac{n-3}{2}}(-1)^k\cdot x^{2k+2}+{n\choose 5}\sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}(-1)^k\cdot x^{2k+4}-~...~(-1)^{\frac{n-1}{2}}{n \choose n}x^{n-1}=0[/tex3]
Coletando todos as potências de [tex3]x^{n-1}[/tex3]
:
[tex3]{n\choose 1}(-1)^{\frac{n-1}{2}}\cdot x^{n-1}-{n\choose 3}(-1)^{\frac{n-3}{2}}\cdot x^{n-1}+{n\choose 5}(-1)^{\frac{n-5}{2}}\cdot x^{n-1}-~...~(-1)^{\frac{n-1}{2}}{n \choose n}x^{n-1}\\
x^{n-1}\left({n\choose 1}(-1)^{\frac{n-1}{2}}-{n\choose 3}(-1)^{\frac{n-3}{2}}+{n\choose 5}(-1)^{\frac{n-5}{2}}-~...~(-1)^{\frac{n-1}{2}}{n \choose n}\right)\\
x^{n-1}\cdot (-1)^{\frac{n-1}{2}}\sum_{k=0}^{n}{n\choose {2k+1}}\\
S=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\sum_{k=0}^{n}{n\choose {2k+1}}=2^{n-1}\cdot (-1)^{\frac{n-1}{2}}\\[/tex3]
Mas temos que saber quem é o termo independente da soma:
[tex3]{n \choose 1}(1-\sen^2\theta)^{\frac{n-1}{2}}-{n \choose 3}\sen^2\theta\cdot(1-\sen^2\theta)^{\frac{n-3}{2}}+{n \choose 5}\sen^4\theta\cdot(1-\sen^2\theta)^{\frac{n-5}{2}}-~...~+(-1)^{\frac{n-1}{2}}{n\choose n}\sen^{n-1}\theta=0\\
s={n\choose 1}1^{\frac{n-1}{2}}=n\\[/tex3]
Por girard, se tivermos um número par de termos então [tex3]\prod_{k=1}^{n}\frac{k\pi}{n}=-\frac{s}{S}[/tex3]
, mas se tivermos um número ímpar então [tex3]\prod_{k=1}^{n}\frac{k\pi}{n}=+\frac{s}{S}[/tex3]
, então, tendo-se [tex3]\frac{n+1}{2}[/tex3]
termos: [tex3]\prod_{k=1}^{n}\frac{k\pi}{n}=\frac{k}{S}\cdot (-1)^{\frac{n-1}{2}}[/tex3]
Finalizando:
[tex3]\prod_{k=1}^{n}\frac{k\pi}{n}=\frac{k}{S}\cdot (-1)^{\frac{n+1}{2}}=\frac{n\cdot \cancel{(-1)^{\frac{n-1}{2}}}}{2^{n-1}\cdot \cancel{(-1)^{\frac{n-1}{2}}}}=n\cdot 2^{1-n}[/tex3]
Re: Produto de Senos 3
Enviado: Qui 20 Abr, 2017 10:31
por Andre13000
Demonstração do caso par:
[tex3]\sen n\theta=\sum_{k=0}^{\frac{n-2}{2}}{n \choose 2k+1}\sen^{2k+1}\theta\cos^{n-2k-1}\theta\cdot (-1)^k\\
\sum_{k=0}^{\frac{n-2}{2}}{n \choose 2k+1}\sen^{2k+1}\theta\cos^{n-2k-1}\theta\cdot (-1)^k=0\\
{n \choose 1}\sen\theta\cos^{n-1}\theta-{n \choose 3}\sen^3\theta\cos^{n-3}\theta+{n \choose 5}\sen^5\theta\cos^{n-5}\theta-~...~+(-1)^{\frac{n-2}{2}}{n\choose n-1}\sen^{n-1}\theta\cos\theta=0\\[/tex3]
Fazendo as substituições [tex3]\sen \theta=x[/tex3]
e [tex3]cos\theta=\sqrt{1-x^2}[/tex3]
:
[tex3]{n \choose 1}x\cdot(1-x^2)^{\frac{n-1}{2}}-{n \choose 3}x^3\cdot(1-x^2)^{\frac{n-3}{2}}+{n \choose 5}x^5\cdot(1-x^2)^{\frac{n-5}{2}}-~...~+(-1)^{\frac{n-2}{2}}{n\choose n-1}x^{n-1}\cdot (1-x^2)^{\frac{1}{2}}=0[/tex3]
Dividindo tudo por x:
[tex3]{n \choose 1}(1-x^2)^{\frac{n-1}{2}}-{n \choose 3}x^2\cdot(1-x^2)^{\frac{n-3}{2}}+{n \choose 5}x^4\cdot(1-x^2)^{\frac{n-5}{2}}-~...~+(-1)^{\frac{n-2}{2}}{n\choose n-1}x^{n-2}\cdot (1-x^2)^{\frac{1}{2}}=0[/tex3]
Agora eu não sei exatamente se pode fazer isso, mas como estamos generalizando as coisas, vamos fingir quer todas essa potências são inteiras e expandir por Newton.
[tex3]{n \choose 1}\sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}(-1)^{k}\cdot x^{2k}-{n \choose 3}\sum_{k=0}^{\frac{n-3}{2}}(-1)^{k}\cdot x^{2k+2}+{n \choose 5}\sum_{k=0}^{\frac{n-5}{2}}(-1)^{k}\cdot x^{2k+4}-~...~+(-1)^{\frac{n-2}{2}}{n\choose n-1} \sum_{k=0}^{\frac{1}{2}}(-1)^{k}\cdot x^{2k+n-2}=0[/tex3]
Digamos que eu tenha omitido os termos binomiais, mas como eu só vou pegar os últimos termos da sequência, não tem problema.
Coletando os termos [tex3]x^{n-1}[/tex3]
:
[tex3]{n \choose 1}\sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}(-1)^{k}\cdot x^{2k}-{n \choose 3}\sum_{k=0}^{\frac{n-3}{2}}(-1)^{k}\cdot x^{2k+2}+{n \choose 5}\sum_{k=0}^{\frac{n-5}{2}}(-1)^{k}\cdot x^{2k+4}-~...~+(-1)^{\frac{n-2}{2}}{n\choose n-1}\sum_{k=0}^{\frac{1}{2}}(-1)^{k}\cdot x^{2k+n-2}=0\\
{n\choose 1}(-1)^{\frac{n-1}{2}}x^{n-1}-{n\choose 3}(-1)^{\frac{n-3}{2}}x^{n-1}+{n\choose 5}(-1)^{\frac{n-5}{2}}x^{n-1}-~...~+(-1)^{\frac{n-2}{2}}{n \choose n-1}(-1)^{\frac{1}{2}}x^{n-1}[/tex3]
Veja que agora, criamos um problemão: tem unidade imaginária no somatório. Não há problemas, só deixarei em evidência pois é certo que cancelará com algo no final.
[tex3]ix^{n-1}\cdot \left[{n\choose 1}(-1)^{\frac{n-2}{2}}-{n\choose 3}(-1)^{\frac{n-4}{2}}+{n\choose 5}(-1)^{\frac{n-6}{2}}-~...~+{n \choose n-1}(-1)^{\frac{n-2}{2}}\right]=ix^{n-1}(-1)^{\frac{n-2}{2}}\sum_{k=1}^{n}{n \choose 2k+1}\\[/tex3]
Mas [tex3]\sum_{k=1}^{n}{n \choose 2k+1}=2^{n-1}[/tex3]
Então:
[tex3]ix^{n-1}(-1)^{\frac{n-2}{2}}\sum_{k=1}^{n}{n \choose 2k+1}=ix^{n-1}(-1)^{\frac{n-2}{2}}2^{n-1}\\
S=i(-1)^{\frac{n-2}{2}}2^{n-1}[/tex3]
O coeficiente do termo independente eu já tinha deduzido na demonstração do ímpar, mas que é neste caso [tex3]s=in[/tex3]
Se tivermos um número par de termos, então [tex3]\prod_{k=1}^{n}\frac{k\pi}{n}=-\frac{s}{S}[/tex3]
, mas se for ímpar, [tex3]\prod_{k=1}^{n}\frac{k\pi}{n}=+\frac{s}{S}[/tex3]
. Tendo [tex3]\frac{n}{2}[/tex3]
termos, então [tex3]\prod_{k=1}^{n}\frac{k\pi}{n}=(-1)^{\frac{n-2}{2}}\frac{s}{S}[/tex3]
Logo:
[tex3]\frac{\cancel in\cdot \cancel{(-1)^{\frac{n-2}{2}}}}{\cancel i\cancel{(-1)^{\frac{n-2}{2}}}2^{n-1}}=n\cdot 2^{1-n}[/tex3]
Obs: tenho quase certeza que essa dedução do número imaginária não está certa, mas parece ser o caminho certo.
Re: Produto de Senos 3
Enviado: Qui 20 Abr, 2017 11:37
por undefinied3
Você foi pelo caminho que eu nunca tinha ousado rir
Agora eu to sem tempo pra postar uma resolução bacana, e acabo voltando só pelas 9h pra casa, então depois eu posto uma solução super bacana envolvendo uma propriedade pouco conhecida que inclusive foi cobrada numa olimpíada de matemática que não me recordo o nome, ano... retrasado? Que diz que o produto das distâncias de um vértice a todos os outros de qualquer poligono inscrito numa circunferência de raio unitário é n. Esse fato ajuda bastante na demonstração que vou postar mais tarde.
Re: Produto de Senos 3
Enviado: Qui 20 Abr, 2017 23:35
por undefinied3
Como prometido, aqui vai a demonstração que conheço.
Primeiramente, provarei que o produto das diagonais de um vértice de um polígono inscrito numa circunferência unitária é igual ao número de lados do polígono.
Comece notando que um polígono de n lados tem seus vértices, no plano complexo, nos afixos que são raízes de [tex3]x^n=1[/tex3]
. Tome, sem perda de generalidade, o vértice no afixo (1,0) para fazer as contas. As distâncias às quais me refiro são [tex3]|1-e^{\frac{2ki\pi}{n}}|[/tex3]
. Certo, mas veja que fatorando [tex3]x^n-1[/tex3]
, temos [tex3]\prod_{k=0}^{n-1}(x-e^\frac{2ki\pi}{n})[/tex3]
. Ou ainda, podemos fatorar apenas a raiz real, que é 1, e obter: [tex3](x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+1)[/tex3]
, mas obviamente as expressões devem ser iguais:
[tex3]\prod_{k=0}^{n-1}(x-e^\frac{2ki\pi}{n})=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+1)[/tex3]
O fator (x-1) está implícito no produto do lado esquerdo, então podemos dividir ambos os lados sem ter de alterar a expressão significativamente
[tex3]\prod_{k=1}^{n-1}(x-e^\frac{2ki\pi}{n})=(x^{n-1}+x^{n-2}+...+1)[/tex3]
Mas tirando o fator (x-1) do lado esquerdo, obtemos justamente o produto que queremos descobrir, basta fazer x=1.
[tex3]\prod_{k=1}^{n-1}(1-e^\frac{2ki\pi}{n})=(1^{n-1}+1^{n-2}+...+1)=n[/tex3]
Claro que teríamos que tirar o módulo de ambos os lados, mas vemos que é irrelevate visto que obtemos um número real para expressão.
E assim demonstramos tal fato.
Agora, vamos para o que interessa, que sinceramente ainda precisa de uma boa sacadinha pra deduzir a partir do que foi provado acima.
Dos complexos, temos [tex3]cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}[/tex3]
Farei, a partir de agora, [tex3]x=e^{\frac{2i\pi}{n}}[/tex3]
. Então sabemos que:
[tex3]\prod_{k=1}^{n-1} (1-x^k)=n[/tex3]
Mas repare: [tex3]1-x^{-k}=\frac{x^k-1}{x^k}[/tex3]
Agora, faça esse produto de k=1 até n-1:
[tex3]\frac{x-1}{x}.\frac{x^2-1}{x^2}...\frac{x^{n-1}-1}{x^{n-1}}=\frac{\pm n}{x^{\frac{n(n-1)}{2}}}[/tex3]
Mas [tex3]x^\frac{n(n-1)}{2}=e^{(n-1)i\pi}=(-1)^{n-1}[/tex3]
Mas repare que quando n é ímpar, o numerador é positivo, e pelo o que obtivemos no denominador, também será. O mesmo acontece quando for negativo, então em suma, sempre será positivo e concluimos que [tex3]\prod_{k=1}^{n-1} (1-x^{-k})=n=\prod_{k=1}^{n-1} (1-x^k)[/tex3]
Ora, então:
[tex3]\prod_{k=1}^{n-1} (1-x^k)\prod_{k=1}^{n-1} (1-x^{-k})=n^2[/tex3]
[tex3]\prod_{k=1}^{n-1} (1-x^{-k}-x^k+1)=n^2[/tex3]
Note que [tex3]x^{-k}+x^k=2cos\frac{2k\pi}{n}[/tex3]
[tex3]\prod_{k=1}^{n-1} (2-2cos\frac{2k\pi}{n})=n^2[/tex3]
Mas [tex3]cos(\frac{x}{2})=1-2sen^2(x) \rightarrow 2-2cos(\frac{x}{2})=4sen^2(x)[/tex3]
[tex3]\prod_{k=1}^{n-1} (4sen^2\frac{k\pi}{n})=n^2[/tex3]
E assim chegamos ao maldito resultado
[tex3]\prod_{k=1}^{n-1} sen\frac{k\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}[/tex3]
Re: Produto de Senos 3
Enviado: Qui 10 Ago, 2017 18:49
por Andre13000
Vejamos essas duas fórmulas:
[tex3]\sen n\theta=n\sen\theta-\frac{n(n^2-1)\sen^3\theta}{3!}+\frac{n(n^2-1)(n^2-9)\sen^5\theta}{5!}-\dots~~ (i)\\
\sen n\theta=\cos\theta\left(n\sen\theta-\frac{n(n^2-4)\sen^3\theta}{3!}+\frac{n(n^2-4)(n^2-16)\sen^5\theta}{5!}-\dots\right)~~(ii)\\[/tex3]
O primeiro caso é para n ímpar, e o segundo, n par. Fazendo [tex3]x=\sen\theta[/tex3]
por brevidade, se elicita a seguinte equação por meio do primeiro caso:
[tex3]nx-\frac{n(n^2-1)x^3}{3!}+\frac{n(n^2-1)(n^2-9)x^5}{5!}-\dots(-1)^{\frac{n-1}{2}}2^{n-1}x^{n}-\sen n\theta=0[/tex3]
As raízes são [tex3]\theta_k=\theta+\frac{2k\pi}{n}[/tex3]
onde [tex3]1\leq k\leq n[/tex3]
E para n par
[tex3]nx-\frac{n(n^2-1)x^3}{3!}+\frac{n(n^2-1)(n^2-9)x^5}{5!}-\dots(-1)^{\frac{n-1}{2}}2^{n-1}x^{n}+\sen n\theta=0[/tex3]
As raízes são [tex3]\theta_j=\theta+\frac{(2j+1)\pi}{n}[/tex3]
Obviamente tomando [tex3]\theta=0[/tex3]
, a resposta é imediata. Porém é interessante analisarmos isto com mais detalhe.
[tex3]nx-\frac{n(n^2-1)x^3}{3!}+\frac{n(n^2-1)(n^2-9)x^5}{5!}-\dots\pm2^{n-1}x^{n}-\sen n\theta=0\\
\pm2^{n-1}\prod_{k=1}^n \left(x-\sen(\theta_k)\right)=0[/tex3]
Agora, é interessante isolar o termo independente de x desse produtório. Isso nos diz que
[tex3]\pm 2^{n-1}\prod_{k=1}^n \sen{\theta_k}=-\sen n\theta\\
\sen n\theta=\pm2^{n-1}\prod_{k=1}^n \sen\left(\theta+\frac{2k\pi}{n}\right)[/tex3]
De modo similar se obtém a soma desses fatores, dos fatores recíprocos. Se fizermos para o caso par dá a mesma coisa.
Re: Produto de Senos 3
Enviado: Ter 17 Out, 2017 18:46
por Andre13000
Tomando [tex3]\omega=\cis\(\frac{2\pi}{n}\)[/tex3]
[tex3]f(z)=z^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}(z-\omega ^k)\\
f'(z)=nz^{n-1}=\sum_{p=0}^{n-1}\prod_{0\leq k\leq n\\
~~~k\neq p}(z-\omega ^k)\\
f'(1)=\prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega^k)=n[/tex3]
Extraindo o módulo de ambos os lados:
[tex3]\left | \prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega^k)\right |=\prod_{k=1}^{n-1}|z-\omega^k|=\prod_{k=1}^{n-1} \sqrt{2-2\cos\frac{2\pi}{k}}=\prod_{k=1}^{n-1}2\sen\frac{\pi}{k}\\
2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sen\frac{\pi}{k}=n\\
\prod_{k=1}^{n-1}\sen\frac{\pi}{k}=\frac{n}{2^{n-1}}[/tex3]
Re: Produto de Senos 3
Enviado: Ter 17 Out, 2017 18:54
por joaopcarv
Re: Produto de Senos 3
Enviado: Sex 29 Mar, 2024 13:32
por FelipeMartin
fazendo a errata da prova do andré:
Tomando [tex3]\omega=\cis\(\frac{2\pi}{n}\)[/tex3]
[tex3]f(z)=z^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}(z-\omega ^k)\\
f'(z)=nz^{n-1}=\sum_{p=0}^{n-1}\prod_{0\leq k\leq n-1\\
~~~k\neq p}(z-\omega ^k)\\
f'(1)=\prod_{k=1}^{n-1}(1-\omega^k)=n[/tex3]
(todos os termos do somatório que incluem [tex3]k=0[/tex3]
se anulam, sobrando apenas [tex3]p=0[/tex3]
)
Extraindo o módulo de ambos os lados:
[tex3]\left | \prod_{k=1}^{n-1}(1-\omega^k)\right |=\prod_{k=1}^{n-1}|1-\omega^k|=\prod_{k=1}^{n-1} \sqrt{2-2\cos\frac{2\pi}{k}}=\prod_{k=1}^{n-1}2\sen\frac{\pi}{k}\\
2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sen\frac{\pi}{k}=n\\
\prod_{k=1}^{n-1}\sen\frac{\pi}{k}=\frac{n}{2^{n-1}}[/tex3]
