Ensino Médio ⇒ Resolução de Inequação Irracional Tópico resolvido

[petras]

Resolver a inequação: (R:[tex3]x\in \mathbb{R}|-1 \leq x < 1-\frac{\sqrt{31}}{8}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\in \mathbb{R}|-1 \leq x < 1-\frac{\sqrt{31}}{8}[/tex3]

)

[tex3]\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}>\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}>\frac{1}{2}[/tex3]

[Killin]

Condições:
[tex3]\begin{cases}\sqrt{3-x}\geq 0\therefore x\leq 3\\\sqrt{x+1}\geq 0\therefore x\geq -1\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}\sqrt{3-x}\geq 0\therefore x\leq 3\\\sqrt{x+1}\geq 0\therefore x\geq -1\end{cases}[/tex3]

(1)

[tex3]\sqrt{3-x}>\frac{1}{2}+\sqrt{x+1}\rightarrow 3-x>\frac{1}{4}+\sqrt{x+1}+x+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3-x}>\frac{1}{2}+\sqrt{x+1}\rightarrow 3-x>\frac{1}{4}+\sqrt{x+1}+x+1[/tex3]

[tex3]\sqrt{x+1}<2-2x-\frac{1}{4}\rightarrow \sqrt{x+1}<\frac{8-8x-1}{4}\rightarrow4 \sqrt{x+1}<7-8x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{x+1}<2-2x-\frac{1}{4}\rightarrow \sqrt{x+1}<\frac{8-8x-1}{4}\rightarrow4 \sqrt{x+1}<7-8x[/tex3]

[tex3]16\cdot(x+1)<49-112x+64x^2\rightarrow 64x^2-128x+33>0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]16\cdot(x+1)<49-112x+64x^2\rightarrow 64x^2-128x+33>0[/tex3]

Igualando a zero e achando as raízes:

[tex3]64x^2-128x+33=0[/tex3]

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[tex3]64x^2-128x+33=0[/tex3]

[tex3]\Delta =7936\therefore \sqrt{\Delta }=\sqrt{2^2\cdot 2^2\cdot 2^2\cdot 2^2\cdot 31}=16\sqrt{31}[/tex3]

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[tex3]\Delta =7936\therefore \sqrt{\Delta }=\sqrt{2^2\cdot 2^2\cdot 2^2\cdot 2^2\cdot 31}=16\sqrt{31}[/tex3]

[tex3]x'=\frac{128+16\sqrt{31}}{128}=\frac{16(8+\sqrt{31})}{16\cdot 8}=\frac{8}{8}+\frac{\sqrt{31}}{8}=1+\frac{\sqrt{31}}{8}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x'=\frac{128+16\sqrt{31}}{128}=\frac{16(8+\sqrt{31})}{16\cdot 8}=\frac{8}{8}+\frac{\sqrt{31}}{8}=1+\frac{\sqrt{31}}{8}[/tex3]

Logo, [tex3]x''=1-\frac{\sqrt{31}}{8}[/tex3]

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[tex3]x''=1-\frac{\sqrt{31}}{8}[/tex3]

. Portanto, [tex3]x<1-\frac{\sqrt{31}}{8}\vee x>1+\frac{\sqrt{31}}{8}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x<1-\frac{\sqrt{31}}{8}\vee x>1+\frac{\sqrt{31}}{8}[/tex3]

(2)

Fazendo a intersecção dos conjuntos:
[tex3]-1\leq x<1-\frac{\sqrt{31}}{8}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-1\leq x<1-\frac{\sqrt{31}}{8}[/tex3]