Ensino Médio ⇒ Minimizar Expressão

[undefinied3]

Queria deixar essa questão que meu professor me passou como desafio. É bem legalzinha e bastante simples, basta ter uma sacadinha

Qual o valor mínimo da expressão:
[tex3]4(x^2+y^2+z^2+w^2)+(xy-7)^2+(yz-7)^2+(zw-7)^2+(wx-7)^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4(x^2+y^2+z^2+w^2)+(xy-7)^2+(yz-7)^2+(zw-7)^2+(wx-7)^2[/tex3]

Com x, y, z, w pertencentes aos reais.

[Andre13000]

qual o gabarito?

[undefinied3]

96

[Andre13000]

Então é só isso mesmo? substituir tudo por uma variável e derivar? Tinha feito isso ontem, mas achei que tinha me enganado em algo.
Eu juro que ontem eu achei valores menores que 96 para a expressão, mas acho q escrevi a função errado no matlab.
Como vc fez?

[undefinied3]

Derivar? Eu nem sabia que dava pra ir por esse lado com tantas variáveis e tão pouca informação. O processo é outro sim

[tex3]4(x^2+y^2+z^2+w^2)+(xy-7)^2+(yz-7)^2+(zw-7)^2+(wx-7)^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4(x^2+y^2+z^2+w^2)+(xy-7)^2+(yz-7)^2+(zw-7)^2+(wx-7)^2[/tex3]

Expandindo os quadrados: (vai estourar bastante a linha...)
[tex3]4(x^2+y^2+z^2+w^2)+(xy)^2+(yz)^2+(zw)^2+(wx)^2-14(xy+yz+zw+wx)+196[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4(x^2+y^2+z^2+w^2)+(xy)^2+(yz)^2+(zw)^2+(wx)^2-14(xy+yz+zw+wx)+196[/tex3]

Agora a gente tem que reagrupar isso de maneira esperta:
[tex3]2(x^2-2xy+y)+2(y^2-2yz+z)+2(z^2-2zw+w)+2(w^2-2wx+x)+(xy)^2+(yz)^2+(zw)^2+(wx)^2-10(xy+yz+zw+wx)+196[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2(x^2-2xy+y)+2(y^2-2yz+z)+2(z^2-2zw+w)+2(w^2-2wx+x)+(xy)^2+(yz)^2+(zw)^2+(wx)^2-10(xy+yz+zw+wx)+196[/tex3]

[tex3]2[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-w)^2+(w-x)^2]+(xy^2-10xy+25)+(yz^2-10yz+25)+(zw^2-10zw+25)+(wx^2-10wx+25)+96[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-w)^2+(w-x)^2]+(xy^2-10xy+25)+(yz^2-10yz+25)+(zw^2-10zw+25)+(wx^2-10wx+25)+96[/tex3]

[tex3]2[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-w)^2+(w-x)^2]+(xy-5)^2+(yz-5)^2+(zw-5)^2+(wx-5)^2+96[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-w)^2+(w-x)^2]+(xy-5)^2+(yz-5)^2+(zw-5)^2+(wx-5)^2+96[/tex3]

Já fizemos aparecer o 96. Vou te provar que ele é o mínimo valor que a expressão pode assumir.
Note que todos os demais termos são quadrados, portanto são não negativos. O valor mínimo que podem assumir é zero (lembre-se que falei x y z w reais), mas precisamos ver se dá pra todos eles serem zero simultaneamente. É fácil ver que sim, já que o sistema:
[tex3]\begin{cases}
x=y \\
y=z \\
z=w \\
w=x \\
xy=5 \\
yz=5 \\
zw=5 \\
wx=5
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
x=y \\
y=z \\
z=w \\
w=x \\
xy=5 \\
yz=5 \\
zw=5 \\
wx=5
\end{cases}[/tex3]

Possui uma solução imediata [tex3]x=\pm \sqrt{5}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=\pm \sqrt{5}[/tex3]

, que fará com que todos os termos se anulem, restando apenas 96.
Assim, a expressão possui um mínimo em 96.

[Andre13000]

Pensei na alta simetria do problema, e para encontrar uma aproximação da resposta, substitui tudo por A, derivei e igualei a 0.

[tex3]S=4(4a^2)+4(a^2-7)^2\\
S'=32a+8(a^2-7)\cdot 2a\\
S'=16a^3-112a+32a\\
S'=16a^3-80a\\
16a^3-80a=0\\
a\neq 0\\
a=\pm\sqrt{\frac{80}{16}}\\
a=\pm 5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S=4(4a^2)+4(a^2-7)^2\\
S'=32a+8(a^2-7)\cdot 2a\\
S'=16a^3-112a+32a\\
S'=16a^3-80a\\
16a^3-80a=0\\
a\neq 0\\
a=\pm\sqrt{\frac{80}{16}}\\
a=\pm 5[/tex3]