Calcule:
[tex3]tg \left ( \frac{\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{2\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{3\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{4\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{5\pi}{11} \right )[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Médio ⇒ Produto de Tangentes Tópico resolvido
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Abr 2017
12
23:00
Produto de Tangentes
Editado pela última vez por undefinied3 em 12 Abr 2017, 23:00, em um total de 1 vez.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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Abr 2017
13
10:16
Re: Produto de Tangentes
Se parece muito com o problema [tex3]S=\tan \frac{3\pi}{11}+4\sen \frac{2\pi}{11}[/tex3]
https://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/07 ... 3755v1.pdf
edit: não parece ter relações tão fortes com a raiz de 11, mas o wolfram alpha fala que realmente que esse produto dá raíz de 11. Agora só falta provar que é uma forma equivalente.
. Vou tentar verificar se não é uma forma equivalente. Se for, o resultado é [tex3]\sqrt{11}[/tex3]
, não sei provar o porquê por minhas deficiências na área de trigonometria, mas esse trabalho prova:https://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/07 ... 3755v1.pdf
edit: não parece ter relações tão fortes com a raiz de 11, mas o wolfram alpha fala que realmente que esse produto dá raíz de 11. Agora só falta provar que é uma forma equivalente.
Editado pela última vez por Andre13000 em 13 Abr 2017, 10:16, em um total de 2 vezes.
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Abr 2017
13
13:11
Re: Produto de Tangentes
Lembrei de algumas técnicas que aprendi com um grande professor, medalhista na IMO, em uma semana que passei no Rio de Janeiro. A ideia é construir um polinômio que tenha essas tangentes como raízes, e achar o valor por Girard.
[tex3]cos(11x)+isen(11x)=(c+is)^{11}=[/tex3]
[tex3]c^{11}+\left( \frac{11}{1} \right ) isc^{10} + ... -is^{11}[/tex3]
Igualando parte real com parte imaginária:
[tex3]sen(11x)=\left( \frac{11}{1} \right ) isc^{10}-\left( \frac{11}{3} \right ) is^3c^{8}+...-is^{11}[/tex3]
[tex3]cos(11x)=c^{11}-\left( \frac{11}{2} \right ) s^2c^{9}+...-\left( \frac{11}{10} \right )s^{10}c[/tex3]
Dividindo uma pela outra..
[tex3]tg(11x)=\frac{11 c^{10} s - 165 c^8 s^3 + 462 c^6 s^5 - 330 c^4 s^7 + 55 c^2 s^9 - s^{11}}{c^{11} - 55 c^9 s^2 + 330 c^7 s^4 - 462 c^5 s^6 + 165 c^3 s^8- 11 c s^{10}}[/tex3]
Dividindo em cima e embaixo por [tex3]c^11[/tex3] :
[tex3]tg(11x)=\frac{11 t - 165 t^3 + 462 t^5 - 330 t^7 + 55 t^9 - t^{11}}{1 - 55 t^2 + 330 t^4 - 462 t^6 + 165 t^8- 11 t^{10}}[/tex3]
Lembrando que [tex3]tg(nx)[/tex3] tem n raízes, o polinômio dessas raízes é justamente o numerador.
[tex3]11 t - 165 t^3 + 462 t^5 - 330 t^7 + 55 t^9 - t^{11}=0[/tex3]
Acho que já deu pra sentir o gostinho do [tex3]\sqrt{11}[/tex3] surgindo.
Paremos para pensar. Quais são as raízes do polinômio acima? Elas são [tex3]tg(\frac{\pi}{11})[/tex3] , [tex3]tg(\frac{2\pi}{11})[/tex3] , [tex3]tg(\frac{3\pi}{11})[/tex3] ... [tex3]tg(\frac{11\pi}{11})[/tex3]
Mas veja que [tex3]tg(x)=-tg(pi-x)[/tex3] , ou seja,
[tex3]tg(\frac{\pi}{11})=-tg(\frac{10\pi}{11})[/tex3]
[tex3]tg(\frac{2\pi}{11})=-tg(\frac{9\pi}{11})[/tex3]
[tex3]tg(\frac{3\pi}{11})=-tg(\frac{8\pi}{11})[/tex3]
[tex3]tg(\frac{4\pi}{11})=-tg(\frac{7\pi}{11})[/tex3]
[tex3]tg(\frac{5\pi}{11})=-tg(\frac{6\pi}{11})[/tex3]
Sobrando apenas [tex3]tg(\frac{11\pi}{11})[/tex3] , que é obviamente 0. Essa raiz não nos interessa, então vamos dividir o polinômio por t simplesmente para descartá-la.
[tex3]11 - 165 t^2 + 462 t^4 - 330 t^6 + 55 t^8 - t^{10}=0[/tex3]
Veja, então, que o produto das raízes é
[tex3](tg \left ( \frac{\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{2\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{3\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{4\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{5\pi}{11} \right ))^2.(-1)^5=[/tex3]
[tex3]-(tg \left ( \frac{\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{2\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{3\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{4\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{5\pi}{11} \right ))^2[/tex3]
Mas, por Girard:
[tex3]P=\frac{11}{-1}=-11[/tex3]
Assim:
[tex3](tg \left ( \frac{\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{2\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{3\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{4\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{5\pi}{11} \right ))^2=11[/tex3]
[tex3]\therefore tg \left ( \frac{\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{2\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{3\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{4\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{5\pi}{11} \right ) = \sqrt{11}[/tex3]
Já que os ângulos são todos do primeiro quadrante.
Um resultado geral é, portanto:
[tex3]\prod_{i=1}^{n}tg \left ( \frac{i\pi}{2n+1} \right )=\sqrt{2n+1}[/tex3]
[tex3]cos(11x)+isen(11x)=(c+is)^{11}=[/tex3]
[tex3]c^{11}+\left( \frac{11}{1} \right ) isc^{10} + ... -is^{11}[/tex3]
Igualando parte real com parte imaginária:
[tex3]sen(11x)=\left( \frac{11}{1} \right ) isc^{10}-\left( \frac{11}{3} \right ) is^3c^{8}+...-is^{11}[/tex3]
[tex3]cos(11x)=c^{11}-\left( \frac{11}{2} \right ) s^2c^{9}+...-\left( \frac{11}{10} \right )s^{10}c[/tex3]
Dividindo uma pela outra..
[tex3]tg(11x)=\frac{11 c^{10} s - 165 c^8 s^3 + 462 c^6 s^5 - 330 c^4 s^7 + 55 c^2 s^9 - s^{11}}{c^{11} - 55 c^9 s^2 + 330 c^7 s^4 - 462 c^5 s^6 + 165 c^3 s^8- 11 c s^{10}}[/tex3]
Dividindo em cima e embaixo por [tex3]c^11[/tex3] :
[tex3]tg(11x)=\frac{11 t - 165 t^3 + 462 t^5 - 330 t^7 + 55 t^9 - t^{11}}{1 - 55 t^2 + 330 t^4 - 462 t^6 + 165 t^8- 11 t^{10}}[/tex3]
Lembrando que [tex3]tg(nx)[/tex3] tem n raízes, o polinômio dessas raízes é justamente o numerador.
[tex3]11 t - 165 t^3 + 462 t^5 - 330 t^7 + 55 t^9 - t^{11}=0[/tex3]
Acho que já deu pra sentir o gostinho do [tex3]\sqrt{11}[/tex3] surgindo.
Paremos para pensar. Quais são as raízes do polinômio acima? Elas são [tex3]tg(\frac{\pi}{11})[/tex3] , [tex3]tg(\frac{2\pi}{11})[/tex3] , [tex3]tg(\frac{3\pi}{11})[/tex3] ... [tex3]tg(\frac{11\pi}{11})[/tex3]
Mas veja que [tex3]tg(x)=-tg(pi-x)[/tex3] , ou seja,
[tex3]tg(\frac{\pi}{11})=-tg(\frac{10\pi}{11})[/tex3]
[tex3]tg(\frac{2\pi}{11})=-tg(\frac{9\pi}{11})[/tex3]
[tex3]tg(\frac{3\pi}{11})=-tg(\frac{8\pi}{11})[/tex3]
[tex3]tg(\frac{4\pi}{11})=-tg(\frac{7\pi}{11})[/tex3]
[tex3]tg(\frac{5\pi}{11})=-tg(\frac{6\pi}{11})[/tex3]
Sobrando apenas [tex3]tg(\frac{11\pi}{11})[/tex3] , que é obviamente 0. Essa raiz não nos interessa, então vamos dividir o polinômio por t simplesmente para descartá-la.
[tex3]11 - 165 t^2 + 462 t^4 - 330 t^6 + 55 t^8 - t^{10}=0[/tex3]
Veja, então, que o produto das raízes é
[tex3](tg \left ( \frac{\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{2\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{3\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{4\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{5\pi}{11} \right ))^2.(-1)^5=[/tex3]
[tex3]-(tg \left ( \frac{\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{2\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{3\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{4\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{5\pi}{11} \right ))^2[/tex3]
Mas, por Girard:
[tex3]P=\frac{11}{-1}=-11[/tex3]
Assim:
[tex3](tg \left ( \frac{\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{2\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{3\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{4\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{5\pi}{11} \right ))^2=11[/tex3]
[tex3]\therefore tg \left ( \frac{\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{2\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{3\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{4\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{5\pi}{11} \right ) = \sqrt{11}[/tex3]
Já que os ângulos são todos do primeiro quadrante.
Um resultado geral é, portanto:
[tex3]\prod_{i=1}^{n}tg \left ( \frac{i\pi}{2n+1} \right )=\sqrt{2n+1}[/tex3]
Editado pela última vez por undefinied3 em 13 Abr 2017, 13:11, em um total de 2 vezes.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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13
14:41
Re: Produto de Tangentes
Encontrei a explicação:
https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials
De acordo com a definição trigonométrica do polinômio desse camarada, tem-se:
[tex3]T_n(\cos\theta)=\cos n\theta\\[/tex3]
Essa condição que estamos estabelecendo é chamada de primeira ordem do polinômio de Chebyshev.
Além dessa primeira, também se tem:
[tex3]\sen n\theta=U_{n-1}(\cos\theta)\sen\theta\\
\sen n\theta=-1^{\frac{n-1}{2}}T_n(\sen\theta)\\[/tex3]
Na terceira equação, se você considerar n=11:
[tex3]\sen 11\theta=-1^5T_{11}(\sen\theta)\\
\sen 11\theta=-1024\sen^{11}\theta+2816\sen^{9}\theta-2816\sen^{7}\theta+1232\sen^{5}\theta-220\sen^{3}\theta+11\sen\theta\\
\sen 11\theta=-1024\sen^{10}\theta+2816\sen^{8}\theta-2816\sen^{6}\theta+1232\sen^{4}\theta-220\sen^{2}\theta+11[/tex3]
Estabelecendo [tex3]\theta=\frac{\pi}{11}[/tex3] e e [tex3]\sen^2\theta=x[/tex3] ::
[tex3]1024x^5-2816x^4+2816x^3-1232x^2+220x-11=0[/tex3]
Mas se [tex3]x=\sin^2\theta[/tex3] , então [tex3]\sen\theta=\sqrt{x}[/tex3] , logo [tex3]\sen \frac{\pi}{11}=+\sqrt{x}[/tex3]
Ocorre também que as raízes desse polinômio também representam os valores de [tex3]\sen \frac{2\pi}{11}~;~\sen \frac{3\pi}{11}~;~\sen \frac{4\pi}{11}~;~\sen \frac{5\pi}{11}[/tex3] .
Você pode calcular o polinômio sozinho ou usar a calculadora do wolfram alpha com o comando [tex3]T_n(x)[/tex3] =ChebyshevT[n,x] e [tex3]U_n(x)[/tex3] =ChebyshevU[n,x].
Esse é o exemplo apresentado no wolfram alpha, mas utilizando o mesmo processo não conseguir encontrar o resto das funções trigonométricas.
Temos que:
[tex3]\tg \pi=11 - 165 t^2 + 462 t^4 - 330 t^6 + 55 t^8 - t^{10}=0[/tex3]
Que é exatamente o que você obteve.
Incrível. Provavelmente esta é uma generalização do método que você usou.
Dê uma olhada nessas páginas e tente obter cos 11x e se você conseguir, poste pois estou curioso para saber como faz. Ainda, não entendi essa substituição miraculosa de c e s por t, kkkkkkkkkkk...
http://mathworld.wolfram.com/Trigonomet ... sPi11.html
http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevP ... tKind.html
http://mathworld.wolfram.com/Trigonomet ... sPi13.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials
De acordo com a definição trigonométrica do polinômio desse camarada, tem-se:
[tex3]T_n(\cos\theta)=\cos n\theta\\[/tex3]
Essa condição que estamos estabelecendo é chamada de primeira ordem do polinômio de Chebyshev.
Além dessa primeira, também se tem:
[tex3]\sen n\theta=U_{n-1}(\cos\theta)\sen\theta\\
\sen n\theta=-1^{\frac{n-1}{2}}T_n(\sen\theta)\\[/tex3]
Na terceira equação, se você considerar n=11:
[tex3]\sen 11\theta=-1^5T_{11}(\sen\theta)\\
\sen 11\theta=-1024\sen^{11}\theta+2816\sen^{9}\theta-2816\sen^{7}\theta+1232\sen^{5}\theta-220\sen^{3}\theta+11\sen\theta\\
\sen 11\theta=-1024\sen^{10}\theta+2816\sen^{8}\theta-2816\sen^{6}\theta+1232\sen^{4}\theta-220\sen^{2}\theta+11[/tex3]
Estabelecendo [tex3]\theta=\frac{\pi}{11}[/tex3] e e [tex3]\sen^2\theta=x[/tex3] ::
[tex3]1024x^5-2816x^4+2816x^3-1232x^2+220x-11=0[/tex3]
Mas se [tex3]x=\sin^2\theta[/tex3] , então [tex3]\sen\theta=\sqrt{x}[/tex3] , logo [tex3]\sen \frac{\pi}{11}=+\sqrt{x}[/tex3]
Ocorre também que as raízes desse polinômio também representam os valores de [tex3]\sen \frac{2\pi}{11}~;~\sen \frac{3\pi}{11}~;~\sen \frac{4\pi}{11}~;~\sen \frac{5\pi}{11}[/tex3] .
Você pode calcular o polinômio sozinho ou usar a calculadora do wolfram alpha com o comando [tex3]T_n(x)[/tex3] =ChebyshevT[n,x] e [tex3]U_n(x)[/tex3] =ChebyshevU[n,x].
Esse é o exemplo apresentado no wolfram alpha, mas utilizando o mesmo processo não conseguir encontrar o resto das funções trigonométricas.
Temos que:
[tex3]\tg \pi=11 - 165 t^2 + 462 t^4 - 330 t^6 + 55 t^8 - t^{10}=0[/tex3]
Que é exatamente o que você obteve.
Incrível. Provavelmente esta é uma generalização do método que você usou.
Dê uma olhada nessas páginas e tente obter cos 11x e se você conseguir, poste pois estou curioso para saber como faz. Ainda, não entendi essa substituição miraculosa de c e s por t, kkkkkkkkkkk...
http://mathworld.wolfram.com/Trigonomet ... sPi11.html
http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevP ... tKind.html
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Editado pela última vez por Andre13000 em 13 Abr 2017, 14:41, em um total de 2 vezes.
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Abr 2017
13
15:03
Re: Produto de Tangentes
c=coseno
s=seno
t=tangente
Quando dividi em cima e embaixo por c^11, cancela todos os "cês", e o que falta pra 11 é o número de s, aí fica s/c que é tangente.
Os polinômios de Chebysheve são recorrências pra calcular os coeficientes do desenvolvimento de [tex3]cos(n\theta)[/tex3] em termos de [tex3]cos(\theta)[/tex3] . A recorrência é:
[tex3]T_0=1[/tex3]
[tex3]T_1=x[/tex3]
[tex3]T_{n+1}=2xT_n-T_{n-1}[/tex3]
Se você for iterado até chegar no 11, você acha o desenvolvimento de cos(11x) em termos de cos(x)
s=seno
t=tangente
Quando dividi em cima e embaixo por c^11, cancela todos os "cês", e o que falta pra 11 é o número de s, aí fica s/c que é tangente.
Os polinômios de Chebysheve são recorrências pra calcular os coeficientes do desenvolvimento de [tex3]cos(n\theta)[/tex3] em termos de [tex3]cos(\theta)[/tex3] . A recorrência é:
[tex3]T_0=1[/tex3]
[tex3]T_1=x[/tex3]
[tex3]T_{n+1}=2xT_n-T_{n-1}[/tex3]
Se você for iterado até chegar no 11, você acha o desenvolvimento de cos(11x) em termos de cos(x)
Editado pela última vez por undefinied3 em 13 Abr 2017, 15:03, em um total de 1 vez.
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13
15:42
Re: Produto de Tangentes
Encontrei o erro. Eu estava conseguindo desenvolver o polinomio, mas não tinha entendido bem a ideia por trás. Eu tinha esquecido de somar um kkkkkk.
Editado pela última vez por Andre13000 em 13 Abr 2017, 15:44, em um total de 1 vez.
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