Encontrei a explicação:
https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials
De acordo com a definição trigonométrica do polinômio desse camarada, tem-se:
[tex3]T_n(\cos\theta)=\cos n\theta\\[/tex3]
Essa condição que estamos estabelecendo é chamada de primeira ordem do polinômio de Chebyshev.
Além dessa primeira, também se tem:
[tex3]\sen n\theta=U_{n-1}(\cos\theta)\sen\theta\\
\sen n\theta=-1^{\frac{n-1}{2}}T_n(\sen\theta)\\[/tex3]
Na terceira equação, se você considerar n=11:
[tex3]\sen 11\theta=-1^5T_{11}(\sen\theta)\\
\sen 11\theta=-1024\sen^{11}\theta+2816\sen^{9}\theta-2816\sen^{7}\theta+1232\sen^{5}\theta-220\sen^{3}\theta+11\sen\theta\\
\sen 11\theta=-1024\sen^{10}\theta+2816\sen^{8}\theta-2816\sen^{6}\theta+1232\sen^{4}\theta-220\sen^{2}\theta+11[/tex3]
Estabelecendo [tex3]\theta=\frac{\pi}{11}[/tex3]
e e [tex3]\sen^2\theta=x[/tex3]
::
[tex3]1024x^5-2816x^4+2816x^3-1232x^2+220x-11=0[/tex3]
Mas se [tex3]x=\sin^2\theta[/tex3]
, então [tex3]\sen\theta=\sqrt{x}[/tex3]
, logo [tex3]\sen \frac{\pi}{11}=+\sqrt{x}[/tex3]
Ocorre também que as raízes desse polinômio também representam os valores de [tex3]\sen \frac{2\pi}{11}~;~\sen \frac{3\pi}{11}~;~\sen \frac{4\pi}{11}~;~\sen \frac{5\pi}{11}[/tex3]
.
Você pode calcular o polinômio sozinho ou usar a calculadora do wolfram alpha com o comando [tex3]T_n(x)[/tex3]
=ChebyshevT[n,x] e [tex3]U_n(x)[/tex3]
=ChebyshevU[n,x].
Esse é o exemplo apresentado no wolfram alpha, mas utilizando o mesmo processo não conseguir encontrar o resto das funções trigonométricas.
Temos que:
[tex3]\tg \pi=11 - 165 t^2 + 462 t^4 - 330 t^6 + 55 t^8 - t^{10}=0[/tex3]
Que é exatamente o que você obteve.
Incrível. Provavelmente esta é uma generalização do método que você usou.
Dê uma olhada nessas páginas e tente obter cos 11x e se você conseguir, poste pois estou curioso para saber como faz. Ainda, não entendi essa substituição miraculosa de c e s por t, kkkkkkkkkkk...
http://mathworld.wolfram.com/Trigonomet ... sPi11.htmlhttp://mathworld.wolfram.com/ChebyshevP ... tKind.htmlhttp://mathworld.wolfram.com/Trigonomet ... sPi13.html