Ensino MédioProduto de Tangentes Tópico resolvido

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undefinied3
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Abr 2017 12 23:00

Produto de Tangentes

Mensagem não lida por undefinied3 »

Calcule:

[tex3]tg \left ( \frac{\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{2\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{3\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{4\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{5\pi}{11} \right )[/tex3]

Última edição: undefinied3 (Qua 12 Abr, 2017 23:00). Total de 1 vez.


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Andre13000
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Re: Produto de Tangentes

Mensagem não lida por Andre13000 »

Se parece muito com o problema [tex3]S=\tan \frac{3\pi}{11}+4\sen \frac{2\pi}{11}[/tex3] . Vou tentar verificar se não é uma forma equivalente. Se for, o resultado é [tex3]\sqrt{11}[/tex3] , não sei provar o porquê por minhas deficiências na área de trigonometria, mas esse trabalho prova:

https://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/07 ... 3755v1.pdf

edit: não parece ter relações tão fortes com a raiz de 11, mas o wolfram alpha fala que realmente que esse produto dá raíz de 11. Agora só falta provar que é uma forma equivalente.

Última edição: Andre13000 (Qui 13 Abr, 2017 10:16). Total de 2 vezes.


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Re: Produto de Tangentes

Mensagem não lida por undefinied3 »

Lembrei de algumas técnicas que aprendi com um grande professor, medalhista na IMO, em uma semana que passei no Rio de Janeiro. A ideia é construir um polinômio que tenha essas tangentes como raízes, e achar o valor por Girard.

[tex3]cos(11x)+isen(11x)=(c+is)^{11}=[/tex3]
[tex3]c^{11}+\left( \frac{11}{1} \right ) isc^{10} + ... -is^{11}[/tex3]

Igualando parte real com parte imaginária:

[tex3]sen(11x)=\left( \frac{11}{1} \right ) isc^{10}-\left( \frac{11}{3} \right ) is^3c^{8}+...-is^{11}[/tex3]
[tex3]cos(11x)=c^{11}-\left( \frac{11}{2} \right ) s^2c^{9}+...-\left( \frac{11}{10} \right )s^{10}c[/tex3]
Dividindo uma pela outra..
[tex3]tg(11x)=\frac{11 c^{10} s - 165 c^8 s^3 + 462 c^6 s^5 - 330 c^4 s^7 + 55 c^2 s^9 - s^{11}}{c^{11} - 55 c^9 s^2 + 330 c^7 s^4 - 462 c^5 s^6 + 165 c^3 s^8- 11 c s^{10}}[/tex3]
Dividindo em cima e embaixo por [tex3]c^11[/tex3] :

[tex3]tg(11x)=\frac{11 t - 165 t^3 + 462 t^5 - 330 t^7 + 55 t^9 - t^{11}}{1 - 55 t^2 + 330 t^4 - 462 t^6 + 165 t^8- 11 t^{10}}[/tex3]

Lembrando que [tex3]tg(nx)[/tex3] tem n raízes, o polinômio dessas raízes é justamente o numerador.
[tex3]11 t - 165 t^3 + 462 t^5 - 330 t^7 + 55 t^9 - t^{11}=0[/tex3]
Acho que já deu pra sentir o gostinho do [tex3]\sqrt{11}[/tex3] surgindo.

Paremos para pensar. Quais são as raízes do polinômio acima? Elas são [tex3]tg(\frac{\pi}{11})[/tex3] , [tex3]tg(\frac{2\pi}{11})[/tex3] , [tex3]tg(\frac{3\pi}{11})[/tex3] ... [tex3]tg(\frac{11\pi}{11})[/tex3]
Mas veja que [tex3]tg(x)=-tg(pi-x)[/tex3] , ou seja,
[tex3]tg(\frac{\pi}{11})=-tg(\frac{10\pi}{11})[/tex3]
[tex3]tg(\frac{2\pi}{11})=-tg(\frac{9\pi}{11})[/tex3]
[tex3]tg(\frac{3\pi}{11})=-tg(\frac{8\pi}{11})[/tex3]
[tex3]tg(\frac{4\pi}{11})=-tg(\frac{7\pi}{11})[/tex3]
[tex3]tg(\frac{5\pi}{11})=-tg(\frac{6\pi}{11})[/tex3]
Sobrando apenas [tex3]tg(\frac{11\pi}{11})[/tex3] , que é obviamente 0. Essa raiz não nos interessa, então vamos dividir o polinômio por t simplesmente para descartá-la.

[tex3]11 - 165 t^2 + 462 t^4 - 330 t^6 + 55 t^8 - t^{10}=0[/tex3]
Veja, então, que o produto das raízes é
[tex3](tg \left ( \frac{\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{2\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{3\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{4\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{5\pi}{11} \right ))^2.(-1)^5=[/tex3]
[tex3]-(tg \left ( \frac{\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{2\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{3\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{4\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{5\pi}{11} \right ))^2[/tex3]

Mas, por Girard:
[tex3]P=\frac{11}{-1}=-11[/tex3]
Assim:
[tex3](tg \left ( \frac{\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{2\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{3\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{4\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{5\pi}{11} \right ))^2=11[/tex3]
[tex3]\therefore tg \left ( \frac{\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{2\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{3\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{4\pi}{11} \right )tg \left ( \frac{5\pi}{11} \right ) = \sqrt{11}[/tex3]
Já que os ângulos são todos do primeiro quadrante.

Um resultado geral é, portanto:

[tex3]\prod_{i=1}^{n}tg \left ( \frac{i\pi}{2n+1} \right )=\sqrt{2n+1}[/tex3]
Última edição: undefinied3 (Qui 13 Abr, 2017 13:11). Total de 2 vezes.


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Andre13000
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Re: Produto de Tangentes

Mensagem não lida por Andre13000 »

Encontrei a explicação:

https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials

De acordo com a definição trigonométrica do polinômio desse camarada, tem-se:

[tex3]T_n(\cos\theta)=\cos n\theta\\[/tex3]

Essa condição que estamos estabelecendo é chamada de primeira ordem do polinômio de Chebyshev.

Além dessa primeira, também se tem:

[tex3]\sen n\theta=U_{n-1}(\cos\theta)\sen\theta\\
\sen n\theta=-1^{\frac{n-1}{2}}T_n(\sen\theta)\\[/tex3]

Na terceira equação, se você considerar n=11:

[tex3]\sen 11\theta=-1^5T_{11}(\sen\theta)\\
\sen 11\theta=-1024\sen^{11}\theta+2816\sen^{9}\theta-2816\sen^{7}\theta+1232\sen^{5}\theta-220\sen^{3}\theta+11\sen\theta\\
\sen 11\theta=-1024\sen^{10}\theta+2816\sen^{8}\theta-2816\sen^{6}\theta+1232\sen^{4}\theta-220\sen^{2}\theta+11[/tex3]

Estabelecendo [tex3]\theta=\frac{\pi}{11}[/tex3] e e [tex3]\sen^2\theta=x[/tex3] ::

[tex3]1024x^5-2816x^4+2816x^3-1232x^2+220x-11=0[/tex3]

Mas se [tex3]x=\sin^2\theta[/tex3] , então [tex3]\sen\theta=\sqrt{x}[/tex3] , logo [tex3]\sen \frac{\pi}{11}=+\sqrt{x}[/tex3]

Ocorre também que as raízes desse polinômio também representam os valores de [tex3]\sen \frac{2\pi}{11}~;~\sen \frac{3\pi}{11}~;~\sen \frac{4\pi}{11}~;~\sen \frac{5\pi}{11}[/tex3] .

Você pode calcular o polinômio sozinho ou usar a calculadora do wolfram alpha com o comando [tex3]T_n(x)[/tex3] =ChebyshevT[n,x] e [tex3]U_n(x)[/tex3] =ChebyshevU[n,x].

Esse é o exemplo apresentado no wolfram alpha, mas utilizando o mesmo processo não conseguir encontrar o resto das funções trigonométricas.

Temos que:

[tex3]\tg \pi=11 - 165 t^2 + 462 t^4 - 330 t^6 + 55 t^8 - t^{10}=0[/tex3]

Que é exatamente o que você obteve.

Incrível. Provavelmente esta é uma generalização do método que você usou.

Dê uma olhada nessas páginas e tente obter cos 11x e se você conseguir, poste pois estou curioso para saber como faz. Ainda, não entendi essa substituição miraculosa de c e s por t, kkkkkkkkkkk...

http://mathworld.wolfram.com/Trigonomet ... sPi11.html
http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevP ... tKind.html
http://mathworld.wolfram.com/Trigonomet ... sPi13.html
Última edição: Andre13000 (Qui 13 Abr, 2017 14:41). Total de 2 vezes.


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Re: Produto de Tangentes

Mensagem não lida por undefinied3 »

c=coseno
s=seno
t=tangente

Quando dividi em cima e embaixo por c^11, cancela todos os "cês", e o que falta pra 11 é o número de s, aí fica s/c que é tangente.

Os polinômios de Chebysheve são recorrências pra calcular os coeficientes do desenvolvimento de [tex3]cos(n\theta)[/tex3] em termos de [tex3]cos(\theta)[/tex3] . A recorrência é:
[tex3]T_0=1[/tex3]
[tex3]T_1=x[/tex3]
[tex3]T_{n+1}=2xT_n-T_{n-1}[/tex3]
Se você for iterado até chegar no 11, você acha o desenvolvimento de cos(11x) em termos de cos(x)
Última edição: undefinied3 (Qui 13 Abr, 2017 15:03). Total de 1 vez.


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Re: Produto de Tangentes

Mensagem não lida por Andre13000 »

Encontrei o erro. Eu estava conseguindo desenvolver o polinomio, mas não tinha entendido bem a ideia por trás. Eu tinha esquecido de somar um kkkkkk.

Última edição: Andre13000 (Qui 13 Abr, 2017 15:44). Total de 1 vez.


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