Resolver:
[tex3]x+\sqrt{17-x^2}+x\sqrt{17-x^2}=9[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Álgebra Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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Abr 2017
12
15:15
Re: Álgebra
Acho q você errou na hora de escrever a questão. De uma verificada.
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Abr 2017
12
17:55
Re: Álgebra
A questão está correta, pelo menos dá pra resolver eu digo.
Por inspeção, x=1 e x=4 são raízes. "Tá, mas porque você viu exatamente esses valores?" Porque sim. O lado direito ser racional e a restrição das raízes [tex3]17-x^2 \geq 0[/tex3] nos leva a testar imediatamente todos os naturais de 0 até 4.
Agora, mais do que isso, eu te afirmo que são as únicas raízes (ao menos reais). Demonstração:
[tex3]\sqrt{17-x^2}(x+1)=9-x \rightarrow (17-x^2)(x^2+2x+1)=81-18x+x^2[/tex3]
[tex3]17x^2+34x+17-x^4-2x^3-x^2=81-18x+x^2[/tex3]
[tex3]x^4 + 2 x^3 - 15 x^2 - 52 x + 64 = 0[/tex3]
É polinômio que dá pra fatorar mesmo sem saber as raízes, mas na base da tentativa e erro. Felizmente, já identificamos duas raízes, x=1 e x=4. Assim, esse polinômio deve ser divisível por [tex3](x-1)(x-4)=x^2-5x+4[/tex3] . De fato, ao fatorar o polinômio, temos:
[tex3](x^2-5x+4)(x^2+7x+16)=0[/tex3]
Assim, x=1 e x=4 são de fato as únicas raízes reais.
Por inspeção, x=1 e x=4 são raízes. "Tá, mas porque você viu exatamente esses valores?" Porque sim. O lado direito ser racional e a restrição das raízes [tex3]17-x^2 \geq 0[/tex3] nos leva a testar imediatamente todos os naturais de 0 até 4.
Agora, mais do que isso, eu te afirmo que são as únicas raízes (ao menos reais). Demonstração:
[tex3]\sqrt{17-x^2}(x+1)=9-x \rightarrow (17-x^2)(x^2+2x+1)=81-18x+x^2[/tex3]
[tex3]17x^2+34x+17-x^4-2x^3-x^2=81-18x+x^2[/tex3]
[tex3]x^4 + 2 x^3 - 15 x^2 - 52 x + 64 = 0[/tex3]
É polinômio que dá pra fatorar mesmo sem saber as raízes, mas na base da tentativa e erro. Felizmente, já identificamos duas raízes, x=1 e x=4. Assim, esse polinômio deve ser divisível por [tex3](x-1)(x-4)=x^2-5x+4[/tex3] . De fato, ao fatorar o polinômio, temos:
[tex3](x^2-5x+4)(x^2+7x+16)=0[/tex3]
Assim, x=1 e x=4 são de fato as únicas raízes reais.
Última edição: undefinied3 (Qua 12 Abr, 2017 17:55). Total de 1 vez.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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